6 / 12
Нахождение эффективной теплопроводности композита методом моментов
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
33
2 2
2
2
2
2
=1
0
0
2 2
2
2 2
2
=1
1
( , ) =
2 cos
exp
=
1
( 1)
=
4
exp
,
3
b
b
n
n
n
nx
n at
x u x t dx
x
x
dx
b
b
b
n at
b
n
b
поскольку
2
3
2
2 2
2 2
0
0
2
2
cos
=
cos
= ( 1) .
b
b
n
nx
b
nx
b
x
dx
x
b
n
b
n
Отсюда получаем дисперсию координаты
x
одной частицы
2
2
2
2
0
0
( ) = (
( )) ( , ) = ( , )
( ) = ( ),
b
b
Dx t
x x t u x t dx x u x t dx x t b D
где
( )
D
— безразмерная функция,
2 2
2
2 2
=1
1
( 1)
( ) = 4
exp(
)
( )
3
n
n
D
n X
n
(рис. 2,
б
). При
функция
( )
D
стремится к
1/12
— дисперсии равно-
мерного распределения. При всех
справедлива оценка
( ) / 2,
D
причем
это неравенство очень близко к равенству при
0 < 0,07,
что соответствует
0< ( ) 0,3.
X
Для
n
частиц имеем
2
ˆ( )= ( )/ = ( )/ .
Dx t Dx t n b D t n
Если в вычислительном
эксперименте получено значение
ˆ,
x
то точечную оценку эффективного
коэффициента температуропроводности
a
находим из уравнения
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
( ) = = ( / ) =
( / ).
b
bX x
X x b a X x b
t
(5)
Согласно центральной предельной теореме,
-доверительный интервал для
ˆ
x
имеет вид
( )
( )
ˆ
ˆ < <
,
q D
q D
x
b x x
b
n
n
где
q
— квантиль уровня
(1 ) / 2
стандартного нормального распределения
(например, для
=0,95
= 1,96);
q
— значение, полученное из (5). Необхо-
димо так подобрать значение времени
,
t
чтобы минимизировать довери-
тельный интервал для коэффициента температуропроводности
,
a
который в
линейном приближении равен
2
2
1
( )
( )
( )
( )
ˆ
=
( ) ( / ) =
=
.
ˆ
( )
( )
q D a q D b
qb D qa D
b
b X x b
x
tb
t X
X
n
n
n
n
Таким образом, относительная погрешность определения коэффициента
a
при
доверительной вероятности 95 % приблизительно составляет
1,96 ( )
1
( )
D
X n
.
Второй сомножитель в этом выражении зависит от величины
(рис. 2,
в
).