2 / 12
Нахождение эффективной теплопроводности композита методом моментов
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
29
включений и от объемной концентрации включений. Новые подходы к задаче
оценки эффективного коэффициента теплопроводности материала с включения-
ми простой формы были применены в работах [6–8]. Использованы методы вари-
ационного исчисления, при этом рассмотрена упрощенная модель окрестности
включения. Из современных работ по этой теме также отметим работы [9–13].
Мощность современных компьютеров позволяет применить принципиаль-
но другой подход к решению задачи об эффективной теплопроводности. Про-
цесс теплопроводности можно моделировать с помощью диффузионных про-
цессов, т.
е. случайных блужданий виртуальных частиц теплоты. Эти частицы
представляют собой выборку из распределения, плотность которого в каждый
момент времени пропорциональна плотности внутренней энергии, т. е. темпе-
ратуре, отсчитываемой от некоторого выбранного нуля (не обязательно абсо-
лютного), умноженной на объемную теплоемкость. Идея состоит в том, чтобы
сформулировать удобно вычисляемую оценку температуропроводности, кото-
рая аналитически рассчитана для однородного материала, и статистически оце-
нивать ее для композитного материала.
Композит с шаровыми включениями нулевой и ненулевой теплопроводно-
сти рассмотрен в работах [14, 15], в которых проведен вычислительный экспе-
римент, моделирующий теплопроводность сквозь слой композита, если на од-
ной стороне слоя имеется источник теплоты, а на другой — задано граничное
условие первого рода. В качестве критерия теплопроводности рассмотрена ве-
роятность того, что виртуальная частица теплоты успеет пересечь слой компо-
зита за заданное время. Результаты сравнивались с результатами, полученными
аналитическими методами [6].
В настоящей статье использован другой критерий теплопроводности:
насколько за заданное время сместится так называемый центр внутренней энер-
гии, определяемый так же, как и центр масс или заряда. Рассчитанные оценки
эффективного коэффициента теплопроводности оказались более точными, чем
оценки, приведенные в работах [14, 15], при таком же объеме вычислений.
Моделирование теплопроводности винеровскими процессами.
Пусть
пространство заполнено изотропным материалом с объемной теплоемкостью
C
и коэффициентом теплопроводности
,
тогда уравнение теплопроводности
имеет вид
2
= ,
u a u
где
= ( , , , )
u u t x y z
— температура,
= /
a C
— коэффициент
температуропроводности.
Если известно начальное распределение температуры
0
( , , ),
u x y z
то можно
получить распределение температуры через время
t
с помощью свертки [16]:
0
( , , , ) = ( , , ),
t
u t x y z u p x y z
(1)
где
2 2 2
3
1
( , , ) =
exp
4
( 4 )
t
x y z
p x y z
at
at
(2)
— плотность нормального распределения с нулевым средним, дисперсиями
Dx
= = = 2
Dy Dz at
и нулевыми корреляциями.