6 / 9
Рис. 4. Распределения температуры в слое в фиксированные моменты времени
t
1
= 0
,
01
с (
1
),
t
2
= 0
,
1
с (
2
) и
t
3
= 0
,
5
с (
3
) и стационарные профили
u
(1)
st
(
x
)
и
u
(2)
st
(
x
)
собой “линейный” профиль
u
(2)
st
(
x
) =
1
−
2
x,
0
≤
x <
1
2
;
0
,
1
2
≤
x
≤
1
.
(13)
Распределения температуры в моменты времени
t
1
= 0
,
01
с,
t
2
= 0
,
1
с и
t
3
= 0
,
5
с приведены на рис. 4,
б
. При
t >
1
,
2
c про-
цесс выходит на стационарный режим (13).
В рассмотренных примерах тепловое возмущение, распространя-
ющееся от левой поверхности
x
= 0
, проникает в слой на конечную
глубину
L
= 1
/
2
(за пределами этой глубины температура равна нулю)
и не достигает правой поверхности
x
= 1
даже при
t
→ ∞
.
Устойчивость стационарного решения.
Для значений параме-
тров задачи, рассмотренных в примере 1, выясним, как будет вести
себя решение краевой задачи (9), если начальное распределение тем-
пературы в слое имеет вид
ϕ
(
x
) =
1
−
x
L
0
2
3
,
0
≤
x < L
0
;
0
, L
0
≤
x
≤
l,
где
L
0
> L
. В рассматриваемом примере полагаем
L
0
= 3
/
4
.
Расчеты показали (рис. 5), что в этом случае фронт
x
∗
(
t
)
тепловой
волны движется от точки
x
∗
(0)
≡
L
0
в противоположном направле-
нии, и решение
u
(
x, t
)
также стремится к стационарному решению
u
(1)
st
(
x
)
в процессе эволюции теплового возмущения. Этот важный
результат доказывает, что стационарный профиль (2) является устой-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
21