2 / 9
Физическая постановка задачи и математическая модель про-
цесса.
Рассмотрим задачу о нахождении нестационарного температур-
ного поля
u
(
x, t
)
в плоском слое конечной толщиной
l
, заполненном
средой, коэффициент теплопроводности
λ
которой изменяется в зави-
симости от температуры
u
по степенному закону
λ
(
u
) =
λ
0
u
σ
, где
λ
0
>
0
;
σ >
0
— параметр нелинейной среды.
В начальный момент времени
t
= 0
температура слоя равна нулю.
При
t >
0
на поверхности
x
= 0
этого слоя поддерживается темпера-
тура
U
0
, а на поверхности
x
=
l
— нулевая температура. Во внутренних
точках слоя происходит поглощение теплоты, удельная мощность ко-
торой
f
(
u
) =
p
0
u
α
, где
α >
0
;
p
0
>
0
— коэффициент поглощения.
Математическая модель процесса имеет вид
ρc
∂u
∂t
=
λ
0
∂
∂x
u
σ
∂u
∂x
−
p
0
u
α
,
0
< x < l, t >
0;
u
(
x,
0) = 0
,
0
< x < l
;
u
(0
, t
) =
U
0
, u
(
l, t
) = 0
, t >
0
.
(1)
Здесь
ρ
,
c
— плотность и удельная теплоемкость среды.
Согласно общей теории нелинейных тепловых процессов, при
σ >
0
тепловое возмущение от нагретой поверхности
x
= 0
распро-
страняется в виде тепловой волны с конечной скоростью перемещения
ее фронта
x
∗
(
t
)
. Кроме того, при некоторых значениях параметра
α
в
задаче (1) также наблюдается эффект пространственной локализации,
когда тепловое возмущение от нагретой поверхности проникает в слой
на конечную глубину
L
и не достигает поверхности
x
=
l
даже при
t
→ ∞
.
Фронт тепловой волны.
Непосредственной проверкой можно убе-
диться в существовании точного стационарного решения дифферен-
циального уравнения в задаче (1), имеющего вид
u
st
(
x
) =
U
0
1
−
x
L
2
σ
+1
−
α
, x < L
;
0
, x
≥
L.
(2)
Здесь
L
=
2
U
σ
+1
−
α
0
a
2
(
σ
+ 1 +
α
)
p
(
σ
+ 1
−
α
)
2
1
2
;
(3)
a
2
=
λ
0
/
(
ρc
)
,
p
=
p
0
/
(
ρc
)
.
Отметим, что формула (3) имеет смысл при
α < σ
+ 1
. Форма
профиля стационарного решения зависит от соотношения параметров
σ
и
α
. Качественный вид стационарных температурных профилей (2)
в слое при заданном значении
σ
и различных значениях
α
представлен
на рис. 1.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
17