5 / 9
Рис. 3. Четырехточечный шаблон раз-
ностной схемы
монотонна, имеет погрешность ап-
проксимации
O
(
h
2
+
τ
)
и нелиней-
на относительно
ˆ
y
n
.
Для отыскания решения полу-
ченной системы нелинейных урав-
нений (10) на временн´ом слое
t
m
+1
применим метод последова-
тельных приближений
ˆ
y
(
s
)
n
−
y
n
τ
=
1
h
2
h
ˆ
k
(
s
−
1)
n
+1
ˆ
y
(
s
)
n
+1
−
ˆ
y
(
s
)
n
−
−
ˆ
k
(
s
−
1)
n
ˆ
y
(
s
)
n
−
ˆ
y
(
s
)
n
−
1
i
−
ˆ
f
(
s
−
1)
n
, n
= 1
, N
−
1
,
(11)
где
s
= 1
,
2
, . . .
— номер итерации.
В качестве начального приближения
ˆ
y
(0)
n
примем значение
y
n
с пре-
дыдущего временн´ого слоя и вычислим величины
ˆ
k
(0)
n
и
ˆ
f
(0)
n
. Решая
систему (11) методом прогонки [9], находим
ˆ
y
(1)
n
— первое прибли-
жение решения
ˆ
y
n
и т.д. Условие окончания итерационного процесса
имеет вид
max
1
≤
n
≤
N
−
1
ˆ
y
(
s
)
n
−
ˆ
y
(
s
−
1)
n
< ε
, где
ε
— заданное значение абсо-
лютной погрешности.
Выбор величин
h
и
τ
осуществляется на основе методики, предло-
женной в работе [10].
Результаты численных расчетов.
Приведем примеры численного
расчета температуры в слое при следующих значениях параметров:
U
0
= 1
;
l
= 1
;
a
2
= 1
;
σ
= 5
/
2
. Начальное распределение температуры
ϕ
(
x
)
≡
0
.
Пример 1.
Для значений параметров
α
= 1
/
2
и
p
= 32
/
9
, ис-
пользуя формулу (3), находим
L
= 1
/
2
. Следовательно, стационарное
распределение температуры в слое имеет вид
u
(1)
st
(
x
) =
(1
−
2
x
)
2
3
,
0
≤
x <
1
2
;
0
,
1
2
≤
x
≤
1
.
(12)
Распределения температуры в фиксированные моменты времени
t
1
= 0
,
01
с,
t
2
= 0
,
1
с и
t
3
= 0
,
5
с представлены на рис. 4,
а
. Расче-
ты показали, что при
t >
1
,
0
с процесс выходит на стационарный
режим (12).
Пример 2.
При значениях
α
= 3
/
2
и
p
= 10
получаем
L
= 1
/
2
.
В этом случае стационарное распределение температуры представляет
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6