4 / 9
Рис. 2. Характер изменения положе-
ния фронта тепловой волны
Принимая во внимание (3), вы-
числяем отношение
b
0
/b
1
, в резуль-
тате получаем
x
∗
(
t
) =
L
p
1
−
exp (
−
b
1
t
)
.
(8)
Переходя в равенстве (8) к пре-
делу при
t
→ ∞
, видим, что
x
∗
стремится к конечному значению
L
при
α < σ
+ 3
. Очевидно, что это-
му неравенству удовлетворяют та-
кие значения параметров
σ
и
α
, при
которых имеет смысл формула (3).
Решение (4) описывает тепловое возмущение, распространяющее-
ся в виде тепловой волны, фронт
x
∗
(
t
)
которой перемещается с конеч-
ной скоростью. Изменение положения фронта тепловой волны подчи-
няется закону (8) (рис. 2). Следует отметить, что согласно (8) характер-
ное время установления стационарного распределения температуры в
слое можно оценить как
t
уст
=
b
−
1
1
.
Разностная схема.
Рассмотрим задачу (1) в постановке, когда на-
чальное распределение температуры в слое задает функция
ϕ
(
x
)
:
ϕ
(
x
)
≥
0
,
ϕ
(
x
)
∈
C
[0
, l
]
, таким образом
∂u
∂t
=
∂
∂x
k
(
u
)
∂u
∂x
−
f
(
u
)
,
0
< x < l, t >
0;
u
(
x,
0) =
ϕ
(
x
)
,
0
< x < l
;
u
(0
, t
) =
U
0
, u
(
l, t
) = 0
, t >
0
,
(9)
где
k
(
u
) =
a
2
u
σ
,
f
(
u
) =
pu
α
.
Для численного решения задачи (9) применим разностный метод.
В области
D
= [0
≤
x
≤
l
]
×
[0
≤
t
≤
T
]
зададим равномерную сетку
ω
hτ
=
n
(
x
n
, t
m
)
:
x
n
=
nh
,
t
m
=
mτ
,
n
= 0
, N
,
m
= 0
, M
o
с шагами
h
=
l/N
и
τ
=
T/M
по переменным
x
и
t
.
Обозначим
y
n
=
y
(
x
n
, t
m
)
,
ˆ
y
n
=
y
(
x
n
, t
m
+1
)
,
ϕ
n
=
ϕ
(
x
n
)
,
ˆ
f
n
=
f
(ˆ
y
n
)
,
ˆ
k
n
=
k
ˆ
y
n
−
1
+ ˆ
y
n
2
, используя четырехточечный ша-
блон (рис. 3), запишем неявную разностную схему [7, 8]:
ˆ
y
n
−
y
n
τ
=
1
h
2
h
ˆ
k
n
+1
(ˆ
y
n
+1
−
ˆ
y
n
)
−
ˆ
k
n
(ˆ
y
n
−
ˆ
y
n
−
1
)
i
−
ˆ
f
n
, n
= 1
, N
−
1
.
(10)
Из граничных условий определяем
ˆ
y
0
=
U
0
,
ˆ
y
N
= 0
.
При решении системы (10) на временн´ом слое
t
1
полагаем
y
n
=
ϕ
n
в соответствии с начальным условием. Разностная схема (10)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
19