3 / 9
Рис. 1. Качественный вид стационар-
ных температурных профилей в слое
при
σ
= 5
/
2
и значениях
α
= 1
/
2
(
1
),
3/2 (
2
), 5/2 (
3
)
Далее будем исследовать за-
дачи, для которых
L < l
, ко-
гда в (1) наблюдается эффект про-
странственной локализации тепло-
вых возмущений.
С учетом теорем сравнения,
приведенных в работе [6], суще-
ствование стационарного решения
(2) означает следующее: для любо-
го
t
∈
[0
,
∞
)
решение задачи (1)
мажорируется стационарным ре-
шением, т.е.
u
(
x, t
)
≤
u
st
(
x
)
. Это
позволяет записать приближенное решение задачи (1) в форме тепло-
вой волны с конечной скоростью перемещения ее фронта
u
(
x, t
) =
U
0
1
−
x
x
∗
(
t
)
2
σ
+1
−
α
,
0
≤
x < x
∗
(
t
) ;
0
, x
∗
(
t
)
≤
x
≤
l.
(4)
Для нахождения закона движения фронта тепловой волны запишем
интегральное условие теплового баланса
x
∗
(
t
)
Z
0
∂u
∂t
dx
=
a
2
x
∗
(
t
)
Z
0
∂
∂x
u
σ
∂u
∂x
dx
−
p
x
∗
(
t
)
Z
0
u
α
(
x, t
)
dx.
(5)
Подставим предполагаемую форму решения (4) в соотношение (5)
и вычислим интегралы в обеих частях равенства (5). Учитывая, что на
фронте
x
=
x
∗
(
t
)
тепловой поток равен нулю, приходим к следующе-
му дифференциальному уравнению:
d
(
x
2
∗
(
t
))
dt
=
b
0
−
b
1
x
2
∗
(
t
)
,
(6)
где
b
0
= 4
U
σ
0
a
2
σ
+ 3
−
α
(
σ
+ 1
−
α
)
2
;
b
1
= 2
U
α
−
1
0
p
σ
+ 3
−
α
σ
+ 1 +
α
.
Очевидно, что искомая функция должна удовлетворять начальному
условию
x
∗
(0) = 0
.
(7)
Интегрируя дифференциальное уравнение (6) и учитывая началь-
ное условие (7), находим
x
∗
(
t
) =
r
b
0
b
1
(1
−
exp (
−
b
1
t
))
.
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6