7 / 19
При
r < r
0
представим в виде (16) функцию
K
iμ
(
lr
)
и, замыкая
контур интегрирования в нижнюю полуплоскость, получаем выраже-
ние (18), в котором необходимо поменять местами величины
r
и
r
0
.
Полученные выражения можно объединить в одно, если обозначить
r
−
= min(
r, r
0
)
,
r
+
= max(
r, r
0
)
:
P
n
(
r, ϕ, l
) =
−
2
q
cos(
ϕμ
n
) cos(
ϕ
0
μ
n
)
ϕ
r
Re
(
K
iμ
n
(
lr
+
)
I
iμ
n
(
lr
−
))
.
(19)
Аналогично при
n
= 0
определяем
P
0
(
r, ϕ, l
) =
−
q
ϕ
r
Re
(
K
0
(
lr
+
)
I
0
(
lr
−
))
.
(20)
Проведем обратное преобразование Фурье (10) для
n
-й моды
(
n
≥
0
) и учтем, что установившаяся стоячая волна — четная функция
переменной
x
, в результате получим
p
n
(
r, ϕ, x
) =
1
π
+
∞
Z
−∞
P
n
(
r, ϕ, l
) cos(
lx
)
dl.
Этот интеграл выражается через гипергеометрическую функцию
p
n
(
r, ϕ, x
) =
−
q ε
n
cos(
ϕμ
n
) cos(
ϕ
0
μ
n
)
√
πr r
0
ϕ
r
Re
Z
;
(21)
Z
=
Γ(
i μ
n
+1
/
2)
Γ(
i μ
n
+1)
(
τ/
2)
i μ
n
+1
/
2
F
iμ
n
+ 1
/
2
2
,
iμ
n
+ 3
/
2
2
, i μ
n
+1
, τ
2
.
Здесь
Γ(
z
)
— гамма-функция;
F
(
α, β, γ, z
)
— гипергеометрическая
функция;
τ
= 2
rr
0
/
(
r
2
+
r
2
0
+
x
2
)
,
ε
n
= 1
/
2
при
n
= 0
и
ε
n
= 1
при
n
≥
1
. Полное решение получается суммированием всех мод
p
(
r, ϕ, x
) =
∞
X
n
=0
p
n
(
r, ϕ, x
)
, где
r
и
ϕ
— величины, определяемые по (6),
r
0
,
ϕ
0
,
ϕ
r
— по (9). Отметим, что полю вдали от источника возму-
щений, т.е. большим значениям
r
и
x
, соответствуют малые значения
τ
, и отдельную моду
p
n
(
r, ϕ, x
)
можно аппроксимировать с помощью
разложения гипергеометрической функции в ряд при
0
≤
z <
1
:
F
(
α, β, γ, z
) = 1 +
αβ
γ
z
+
α
(
α
+ 1)
β
(
β
+ 1)
γ
(
γ
+ 1)2!
z
2
+
. . . ,
(22)
где
α
=
i μ
n
+1
/
2
2
;
β
=
i μ
n
+3
/
2
2
;
γ
=
i μ
n
+1
. Однако при фик-
сированном значении
z
с увеличением номера моды
n
в разложении
(22) приходится брать все большее число членов ряда (число членов
m
≈
μ
n
z
), что затрудняет расчет волновых мод с большими номера-
ми. Имея в виду дальнейшее суммирование ряда (22), воспользуемся
64
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3