3 / 19
Постановка задачи.
Здесь рассмотрены поле внутренних грави-
тационных волн в слое стратифицированной среды переменной глу-
бины. В предположении линейного наклона дна на основе преобра-
зования Канторовича – Лебедева получены точные решения, которые
описывают отдельную моду и полное волновое поле. Построены ВКБ-
асимптотики отдельной волновой моды, выражающиеся через гипер-
геометрическую функцию, а также асимптотики полного волнового
поля, выражающиеся через полулогарифмическую функцию. Для па-
раметров характерной для реального океана среды приведены резуль-
таты численных расчетов волновых полей по точным и асимптотиче-
ским формулам, оценены границы их применимости.
В рамках линейной теории исследована невязкая, несжимаемая не-
однородная среда с невозмущенной плотностью
ρ
0
(
z
)
, ограниченная
поверхностью
z
= 0
и дном
z
=
γy
(ось
z
направлена вверх,
γ
—
наклон дна). В точке
x
=
x
0
, y
=
y
0
, z
=
z
0
, находящейся внутри
клина, имеется точечный источник массы мощностью
Q
и времен-
ной зависимостью
exp(
−
iωt
)
. Система уравнений гидродинамики для
малых возмущений плотности
ρ
∗
, давления
p
∗
и компонент скорости
(
u
1
, u
2
, w
)
имеет вид
ρ
0
∂u
1
∂t
=
−
∂p
∗
∂x
;
ρ
0
∂u
2
∂t
=
−
∂p
∗
∂y
;
ρ
0
∂w
∂t
=
−
∂p
∗
∂z
+
gρ
∗
;
∂u
1
∂x
+
∂u
2
∂y
+
∂w
∂z
=
Q
exp(
−
iωt
)
δ
(
x
−
x
0
)
δ
(
y
−
y
0
)
δ
(
z
−
z
0
);
∂ρ
∗
∂t
+
w
∂ρ
0
∂z
= 0
,
(1)
где
g
— ускорение силы тяжести. В качестве граничных условий возь-
мем условие “твердой крышки” на поверхности и условие непротека-
ния на дне
w
= 0
при
z
= 0
, w
+
u
2
γ
= 0
при
z
=
−
γy.
(2)
Предполагая у всех решений гармоническую зависимость от времени:
(
p
∗
, ρ
∗
, u
1
, u
2
, w
) = exp(
−
iωt
)(
p, ρ, U
1
, U
2
, W
)
, можно получить следу-
ющую систему уравнений с граничными условиями (2):
U
1
=
∂p
∂x
iωρ
0
;
U
2
=
∂p
∂y
iωρ
0
;
W
=
−
c
2
∂p
∂z
iωρ
0
;
∂U
1
∂x
+
∂U
2
∂y
+
∂W
∂z
=
Qδ
(
x
−
x
0
)
δ
(
y
−
y
0
)
δ
(
z
−
z
0
);
ρ
=
W∂ ρ
0
∂z
iω,
(3)
60
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3