6 / 19
В соответствии с (13) функция
Φ
μ
(
ϕ
)
является угловой функцией
Грина
Φ
μ
(
ϕ
) =
−
1
μ
2
ϕ
r
−
2
ϕ
r
∞
X
n
=1
cos(
ϕμ
n
) cos(
ϕ
0
μ
n
)
μ
2
−
μ
2
n
,
(14)
μ
n
=
2
πn
ln
c
+
γ
c
−
γ
, n
≥
1
.
Точное решение и асимптотика отдельной волновой моды.
Рас-
смотрим в выражении (12) отдельную волновую моду (
n
≥
1
)
P
n
(
r, ϕ, l
) =
=
−
4
q
cos(
ϕμ
n
) cos(
ϕ
0
μ
n
)
ϕ
r
π
2
+
∞
Z
0
sh(
πμ
)
K
iμ
(
lr
)
K
iμ
(
lr
0
)
μdμ
μ
2
−
μ
2
n
.
(15)
Здесь интеграл понимается в смысле главного значения. Формула
(15) пригодна и для случая
n
= 0
, если принять
μ
0
= 0
, а коэф-
фициент перед интегралом уменьшить в 2 раза. Рассмотрим сна-
чала случай
r > r
0
. В целях деформирования контура интегриро-
вания по величине
μ
в выражении (15) воспользуемся формулой
K
ν
(
t
) =
π
(
I
−
ν
(
t
)
−
I
ν
(
t
))
/
(2 sin(
πμ
))
, которая при
ν
=
iμ
для функции
K
iμ
(
lr
0
)
приобретает вид
K
iμ
(
lr
0
) =
−
π
Im
(
I
iμ
(
lr
0
))
sh(
πμ
)
,
(16)
так как функции
I
iμ
(
x
)
и
I
iμ
(
−
x
)
являются комплексно-сопряженными.
Подынтегральная функция в (15) четная по величине
μ
, поэтому с по-
мощью соотношения (16) можно получить
P
n
(
r, ϕ, l
) =
2
q
cos(
ϕμ
n
) cos(
ϕ
0
μ
n
)
πϕ
r
Im
+
∞
Z
−∞
K
iμ
(
lr
)
I
iμ
(
lr
0
)
μdμ
μ
2
−
μ
2
n
.
(17)
Теперь контур интегрирования в (17) можно замкнуть в нижнюю
полуплоскость. Чтобы убедиться в этом, используем асимптотики
K
iμ
(
x
)
и
I
iμ
(
x
)
при
μ
=
−
iν
,
ν
→ ∞
:
K
ν
(
lr
)
≈
p
π/
2
ν
(2
ν/elr
)
ν
;
I
ν
(
lr
0
)
≈
p
π/
2
ν
(2
ν/er
0
l
)
ν
/
(2
√
2)
. Тогда можно получить
K
ν
(
lr
)
I
ν
(
lr
0
)
≈
π
exp(
−
ν
(ln
r
−
ln
r
0
))
/
(4
ν
√
2)
. Откуда видно, что
подынтегральное выражение экспоненциально мало в нижней по-
луплоскости при
r > r
0
. Тогда, учитывая вычеты в точках
μ
=
±
μ
n
,
имеем
P
n
(
r, ϕ, l
) =
−
2
q
cos(
ϕμ
n
) cos(
ϕ
0
μ
n
)
ϕ
r
Re
(
K
iμ
n
(
lr
)
I
iμ
n
(
lr
0
))
.
(18)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
63