5 / 19
преобразования Фурье
p
(
r, ϕ, x
) =
1
2
π
+
∞
Z
−∞
P
(
r, ϕ, l
) exp(
ilx
)
dl.
(10)
Далее предположим, что
γ < c
, или, используя терминологию, введен-
ную в работах [2, 5, 6], полагаем наклон дна докритическим (крити-
ческий наклон
γ
= ˜
n
). Однородное уравнение (7) с нулевой правой
частью имеет убывающие на бесконечности действительные решения
P
(
r, ϕ, l
) =
K
iμ
(
lr
) cos(
μϕ
)
, где
μ
— любое действительное число;
K
iμ
(
lr
)
— функция МакДональда мнимого индекса, удовлетворяющая
параметрическому модифицированному уравнению Бесселя
LK
iμ
(
lr
) = 0;
L
=
r
2
∂
2
∂r
2
+
r
∂
r∂r
+ (
μ
2
−
r
2
l
2
)
.
Отметим, что функция
K
iμ
(
lr
)
вещественна, если значения
μ
веще-
ственны и аргумент
lr
положителен. Исходя из этого, для представле-
ния дельта-функции
δ
(
r
−
r
0
)
воспользуемся парой прямого и обрат-
ного преобразования Канторовича – Лебедева:
F
(
μ
) =
+
∞
Z
0
K
iμ
(
x
)
f
(
x
)
x
dx
;
f
(
x
) =
2
π
2
+
∞
Z
0
sh(
πμ
)
K
iμ
(
x
)
F
(
μ
)
μdμ.
Откуда можно получить разложение для дельта-функции (условие пол-
ноты)
δ
(
r
−
r
0
) =
2
rπ
2
+
∞
Z
0
sh(
πμ
)
K
iμ
(
lr
)
K
iμ
(
lr
0
)
μdμ.
(11)
Решение задачи (7) будем искать в виде
P
(
r, ϕ, l
) =
2
q
π
2
+
∞
Z
0
sh(
πμ
)
K
iμ
(
lr
)
K
iμ
(
lr
0
) Φ
μ
(
ϕ
)
μdμ
(12)
с неизвестной функцией угловой переменной
Φ
μ
(
ϕ
)
. Подстановка (11)
и (12) в (7) приводит к следующей краевой задаче для определения
этой функции:
d
2
Φ
μ
(
ϕ
)
dϕ
2
+
μ
2
Φ
μ
(
ϕ
) =
−
δ
(
r
−
r
0
);
d
Φ
μ
(0)
dϕ
=
d
Φ
μ
(
ϕ
r
)
dϕ
= 0
.
(13)
62
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3