8 / 19
ВКБ-асимптотикой гипергеометрической функции из (21):
F
(
τ
2
)
≈
exp
−
i μ
n
2
ln
τ
2
4
+ ln
1 +
√
1
−
τ
2
1
− √
1
−
τ
2
4
q
1
−
τ
2
.
(23)
Далее используем асимптотику гамма-функции из (21) при больших
значениях
μ
n
:
Γ(
i μ
n
+1
/
2)
Γ(
i μ
n
+1)
≈
exp(
−
iπ/
4)
/
√
μ
n
. Окончательно полу-
чаем следующее выражение для ВКБ-асимптотики при больших зна-
чениях
μ
n
отдельной волновой моды:
p
n
(
r, ϕ, x
)
≈
≈ −
q
√
τ
cos(
ϕμ
n
) cos(
ϕ
0
μ
n
)
√
2
μ
n
πr r
0
ϕ
r
cos
μ
n
2
ln
1 +
√
1
−
τ
2
1
− √
1
−
τ
2
+
π
4
.
(24)
Следует отметить, что если формально принять в разложении (22)
μ
n
→ ∞
, а в ВКБ-асимптотике (23) для
F
(
z
)
—
z
→
0
с учетом
zμ
n
≈
O
(1)
, то в обоих случаях получаем одинаковое значение, равное
exp(
−
iz μ
n
/
4)
. Таким образом, разложения (22) и ВКБ-асимптотика
(23) внутренне согласованы, т.е. имеется область значений
z, μ
n
, где
эти выражения совпадают. Согласно выражению (24), амплитуда
n
-й
моды при больших значениях
x
,
y
убывает как
((
x
2
+
y
2
)
n
)
−
1
/
2
. Рас-
кладывая фазу в (24) при малых значениях
τ
, получаем, что длина по-
луволны вдоль оси
y
при больших значениях
y
возрастает как
πy/ μ
n
,
вдоль оси
x
— как
πx/
2
μ
n
.
Результаты расчетов первой и второй волновых мод при фикси-
рованных значениях
x
,
z
(срезка по переменной
y
) приведены на
рис. 1,
а
,
б
, первая и вторая моды при фиксированных значениях
z
,
y
(срезка по переменной
x
) — на рис. 1,
в
,
г
. Параметры расче-
тов, характерные для реальных океанических условий, следующие:
N
= 0
,
001
c
−
1
;
ω
= 0
,
004
c
−
1
;
γ
= 0
,
2
;
c
= 0
,
44
;
ρ
0
= 1000
кг/м
3
;
Q
= 1600
м
3
/с;
y
0
= 500
м;
z
0
=
−
4
м. Значения
x
= 20
м,
z
=
−
40
м
(см. рис. 1,
а
,
б
), значения
z
=
−
40
м,
y
= 520
м (см. рис. 1,
в
,
г
).
В соответствии с представленными результатами получено хорошее
совпадение точного и асимптотического решений, за исключением не-
посредственной окрестности источника возмущений, где аргумент
гипергеометрической функции стремится к единице, что следует
из построения асимптотического решения. Отметим, что выраже-
ние (24) формально пригодно при
μ
n
→ ∞
, в численных расчетах
μ
n
= 6
,
406
n
, и уже для первой моды
n
= 1
асимптотики (24) ка-
чественно верно описывают точные решения (см. рис. 1). Асимп-
тотику нулевой моды можно вычислить, используя (21) и полагая
μ
n
= 0
. Тогда с учетом
F
1
4
,
3
4
,
1
, τ
2
=
2
π
√
1 +
τ
K
2
τ
1 +
τ
, где
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
65