4 / 14
И.В. Фомин
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
Класс метрик ФРУ принадлежит классу конформно-плоских пространств, по-
этому рассмотрим пространства с линейным элементом
2
3 4
1 2
2 2
3 2
4 2
= ( , )[( ) ( ) ( ) ( ) ].
ds A x x dx
dx
dx
dx
В силу того, что космологическое скалярное поле зависит только от времени и
не зависит от пространственных координат
= ( ),
имеем
2
2
1 2
2 2
3 2
= ( )[
( ) ( ) ( ) ],
ds A d dx dx dx
(8)
т.
е. конформный множитель
( )
A
записывается через масштабный фактор:
2
( ) = ( ).
A a
Подставив в уравнения (6) и (7) соотношение
( ) = ( ),
a
A
получим вы-
ражения для потенциала и скалярного поля через конформный множитель
2
( ( )) = ;
2
A
V
A
(9)
2
2
3
( ) =
.
2
A A
A A
(10)
Для удобства вычислений рассмотрим метрику (8) с сигнатурой
( , , , ),
что означает замену множителя
( )
A
множителем
( ).
A
В таком случае
2
( ) = ( ),
A a
метрику
2
2
1 2
2 2
3 2
= ( )[
( ) ( ) ( ) ]
ds A d dx dx dx
и выражения (9), (10) записываем в следующем виде:
2
( ( )) = ;
2
A
V
A
2
2
3
( ) =
,
2
A A
A A
что позволяет получить точные решения уравнений динамики скалярного поля,
задавая множитель
( ).
A
Космологическая инфляция.
Рассмотрим конформный множитель вида
0
= exp ( ) ,
A A
где
( )
— произвольная функция конформного времени.
В таком случае
2
1
( ) = [ ( )
( )]exp ( ) ;
2
V
(11)
2
2
2
1
( ) =[
( )
( )].
2
(12)
Выберем функцию конформного времени
0
( ) = 2 :
0
0
= exp 2 .
A A
Реше-
ния (11), (12) принимают вид