4 / 15
30
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
Преобразование аффинных систем с управлением к регуляр-
ному каноническому виду.
С помощью теоремы 3 можно найти ста-
билизирующее управление для аффинной системы с возмущениями в
том случае, когда известна соответствующая функция Ляпунова. Если
такая функция неизвестна, то вопрос о стабилизирующем управлении
остается открытым. Существует ли вообще управление, стабилизиру-
ющее аффинную систему с возмущениями, и как его найти? Ответ на
этот вопрос в некоторых случаях может быть дан с использованием
преобразования аффинных систем к эквивалентному каноническому
виду.
Рассмотрим систему вида
= ( ) ( )
( ) ,
,
,
,
n
x A x B x u C x w x
u w
(9)
где
т
1
( ) = ( ), ,
( ) ;
n
A x a x
a x
т
1
( ) = ( ), , ( ) ;
n
B x b x
b x
( ) =
C x
т
1
( ), , ( ) ;
n
c x
c x
(0) = 0;
A
( ), ( ), ( )
( ),
i
i
i
a x b x c x C
=1, , .
i
n
Функцию Ляпунова для невозмущенной системы
= ( )
( )
x A x B x u
(10)
можно найти с помощью преобразования к эквивалентному канониче-
скому виду.
Теорема 4.
Система (10) эквивалентна на подмножестве
n
системе канонического вида
1 2
1
;
;
( ) ( )
n
n
n
z z
z
z
z f z g z u
(11)
тогда и только тогда, когда на подмножестве
определена гладкая
функция
( ),
x
обладающая следующими свойствами:
1)
ad = 0,
k
n
A
x
B
= 0, ,
2,
k
n
где
0
ad =
A
B B
,
1
ad =
i
A
B
[ , ad ];
i
A
A B
2) отображение
1
т
( ) = ( ( ),
( ), ,
( ))
n
x
x
x
x
A
A
является диф-
феоморфизмом из подмножества
в
( )
. При этом
= ( ),
z
x
1 = ( )
( ) = ( )
,
n
x
z
f z
x
A
1
1 = ( )
( ) =
( )
.
n
x
z
g z
x
BA
На практике процедура поиска канонического вида состоит из сле-
дующих этапов: