2 / 15
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
называют
невозмущенной системой
, а систему (1) —
возмущенной
системой
.
Система (1)
глобально устойчива при наличии возмущений
(или
устойчива от входа к состоянию
), если существуют такие функции
и
, что для любого начального состояния
0
( )
x t
и любого
кусочно непрерывного ограниченного возмущения
= ( ),
w w t
решение
( )
x t
системы определено при всех
0
t t
и удовлетворяет условию [1–7]
0
0
0
0
,
( )
( ) ,
( ) при
.
sup
t t
x t
x t
t t
w
t t
(3)
Приведем следующую теорему [1–5].
Теорема 1
(о глобальной устойчивости при наличии возму-
щений).
Пусть для системы (1) существует функция
( )
V x
непре-
рывно дифференцируемая и удовлетворяющая в области
n k
условиям
1
2
( )
,
x V x
x
(4)
где
1,2
— функции
;
:
;
x x
w
( )
( )
( ) =
( )
( )
( ).
V x
V x
V x
A x
C x w P x
x
x
(5)
Здесь
( )
P x
— положительно определенная функция
,
.
Тогда
система (1) глобально устойчива при наличии возмущений
,
а функцию
в (3) можно выбрать равной
1
1
2
.
Функцию
V
, удовлетворяющую условию теоремы 1, называют
функцией Ляпунова системы с возмущением
.
Аффинной системой с возмущениями
называют систему вида
( ) = ( ) ( )
( ) ,
,
,
,
n
k
m
x t
A x B x u C x w x
w u
(6)
где
1
( ) = ( ),
, ( ) ;
n
A x a x
a x
1
( ) = ( ),
, ( ) ;
n
B x b x
b x
1
( ) = ( ),
,
C x c x
( )
( );
n
c x C
— открытое подмножество
;
n
u
— управление.
Система (6)
глобально стабилизируема при наличии возмущений
, если
существует такое непрерывное управление
*
= ( ),
u u x
(0) = 0,
u
что
замкнутая им система (6) глобально устойчива при наличии возму-
щений.
Существуют различные способы стабилизации систем с возмуще-
ниями [8–12]. В настоящей работе предложен способ, основанный на
преобразовании аффинных систем к эквивалентному каноническому
виду [13] и на использовании функции Ляпунова для систем с управ-
лением [6].