Применение оценок Каплана-Мейера для проверки степенной гипотезы Кокса по двум прогрессивно цензурированным выборкам

12 / 17

Лемма 1. Пусть Y (t) — процесс, определенный выше. Существу-
ет монотонно возрастающее преобразование t = ψ (τ ) отрезка [0, 1]
на себя [0, 1] → [0, 1], при котором процесс W ( τ) = Y (ψ ( τ)) ×
×
(1 − ψ(τ))
m2
k −1
k2 (1 − ψ(τ))
m2
k −m1 + k1
является броуновским мостом.
J Рассмотрим преобразование
τ (t) =
k2 (1 − t)
m2
k −m1 + k1 − (1 − t)
m2
k
k2 (1 − t)
m 2
k − m1 + k1
: [0, 1) → [0, 1).
При необходимости доопределим τ(1) = 1 . Нетрудно показать, что
τ0 (t ) ≥ 0, τ (0) = 0 , τ (1) = 1. Тогда существует обратное преобразо-
вание t = ψ (τ). Введем процесс
W ( τ) = Y (ψ (τ))
(1 − ψ(τ))
m2
k −1
k2 (1 − ψ(τ))
m2
k −m1 + k1
= Y (ψ ( τ)) λ ( ψ (τ )) .
При 0 ≤ u ≤ v < 1, ψ (u) = s, ψ (v ) = t имеем
E [W (τ)] = 0, E [W (u) W (v)] =
= λ (ψ (u)) λ (ψ (v)) E [ Y (ψ (u)) Y (ψ (v))] =
= λ (s) λ (t ) E [Y (s) Y ( t)] =
(1 − s)
m2
k −1
k2 (1−s)
m2
k −m1 + k1
(1 − t)
m2
k −1
k2 (1−t )
m2
k −m1 + k1
×
× (1 − t)
k2 (1 − s)
m2
k −m1 + k1 − (1 − s)
m2
k
(1 − s)
m2
k −1
=
=
(1 − t)
m 2
k
k2 (1 − t )
m2
k −m1 + k1
k2 (1 − s)
m2
k −m 1 + k1 − (1 − s)
m2
k
k2 (1 − s)
m2
k −m1 + k1
= u(1−ν ). I
Рассмотрим выборки (θ 1
1 , . . . , θn1
1 ), (θ 1
2 , . . . , θn 2
2 ) . Если полагать их
независимыми выборками из совокупностей с функциями распреде-
ления F 1(t) = 1 − (1 − t)m1 , F 2(t) = 1 − (1 − t)
m2
k , то справедливо
следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть, как было определено выше,
_
F
1
=
d1( t)
n 1
,
_
F
2
=
d2(t)
n2
— эмпирические функции распределения выборок
(θ1
1, . . . , θ n1
1 ), (θ1
2, . . . , θn2
2 ). Тогда
P sup
t
(1−
_
F
1
(t))
1
m1 − (1 − t) −→
n1 ∞
0 = 1,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6 79