11 / 17
Учитывая, что асимптотически
X
2
(
t
) =
h
( ˜
X
2
(
t
))
, получаем асим-
птотическую ковариацию процесса
X
2
(
t
)
в виде
K
2
(
s, t
) =
EX
2
(
s
)
X
2
(
t
)
−
−
EX
2
(
s
)
EX
2
(
t
)
−→
n
2
∞
(1
−
t
)(1
−
s
)
k
2
1
−
(1
−
s
)
m
2
k
m
2
2
(1
−
s
)
m
2
k
.
Рассмотрим случайный процесс
Z
n
(
t
)=
√
n
1
_
P
θ
1
(
t
)
−
_
P
θ
2
(
t
)
k
,
0
≤
t <
1
, определяющий статистику (2). Обозначим через
K
n
(
s, t
)
функцию ковариации
Z
n
(
t
)
. Очевидно, что справедливо представление
Z
n
(
t
) =
√
n
1
_
P
θ
1
(
t
)
−
(1
−
t
)
−
_
P
θ
2
(
t
)
k
−
(1
−
t
) =
=
X
1
(
t
)
− √
ρX
2
(
t
)
,
0
≤
t <
1
.
Из этого представления следует теорема.
Теорема 7.
Пусть
0
≤
s
≤
t
≤
Δ
<
1
,
тогда
K
n
(
s, t
)
−→
n
1
→ ∞
n
2
→ ∞
K
(
s, t
) =
K
1
(
s, t
) +
ρK
2
(
s, t
) =
= (1
−
t
)(1
−
s
)
1
−
(1
−
s
)
m
1
m
2
1
(1
−
s
)
m
1
+
ρk
2
1
−
(1
−
s
)
m
2
k
m
2
2
(1
−
s
)
m
2
k
=
= (1
−
t
)
1
−
(1
−
s
)
m
1
m
2
1
(1
−
s
)
m
1
−
1
+
ρk
2
1
−
(1
−
s
)
m
2
k
m
2
2
(1
−
s
)
m
2
k
−
1
.
Обозначим
Y
n
(
t
) =
m
1
m
2
p
k
2
ρm
2
1
+
m
2
2
Z
n
(
t
)
. При стандартных ограниче-
ниях
0
≤
s
≤
t
≤
Δ
<
1
процесс
Y
n
(
t
)
сходится к гауссовому процессу
Y
(
t
)
[4]. При этом
E
[
Y
(
t
)] = 0
, E
[
Y
(
s
)
Y
(
t
)] =
=
m
2
1
m
2
2
k
2
ρm
2
1
+
m
2
2
(1
−
t
)
1
−
(1
−
s
)
m
1
m
2
1
(1
−
s
)
m
1
−
1
+
ρk
2
1
−
(1
−
s
)
m
2
k
m
2
2
(1
−
s
)
m
2
k
−
1
=
= (1
−
t
)
k
2
(1
−
s
)
m
2
k
−
m
1
+
k
1
−
(1
−
s
)
m
2
k
(1
−
s
)
m
2
k
−
1
,
0
≤
s
≤
t
≤
Δ
<
1
.
Для определения приближенного асимптотического распределения
статистики (2) предварительно докажем две леммы.
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6