6 / 8
J
Пусть
γ
≥
1
−
e
−
3
/
2
. Обозначим через
u
= (
u
1
, u
2
, . . . , u
m
)
век-
тор доверительных границ для параметров отдельных элементов
u
i
.
Пусть
u
= (
u
1
, u
2
, . . . , u
m
)
∈
E
+
m
— вектор значений параметров.
В соответствии с (2) выполняются равенства
P
{
u
i
≤
u
i
}
=
γ, i
= 1
, . . . , m.
(13)
Рассмотрим пространство всех возможных значений вектора довери-
тельных границ
u
= (
u
1
, u
2
, . . . , u
m
)
, которое, очевидно, совпадает
с
E
+
m
.
В силу выпуклости функции
f
(
u
)
справедливо неравенство
f
(
u
)
≤
f
(
u
) +
m
X
i
=1
C
i
(
u
i
−
u
i
)
(14)
при любом
u
∈
E
+
m
, где
C
i
=
∂f/∂u
i
(
u
)
>
0
,
i
= 1
, . . . , m
— констан-
ты. При фиксированном векторе
u
∈
E
+
m
рассмотрим события
A
=
{
f
(
u
)
≤
f
(
u
)
}
;
B
=
(
m
X
i
=1
C
i
u
i
≤
m
X
i
=1
C
i
u
i
)
.
Из (14) следует, что
B
⊂
A
, откуда с учетом неравенств (6) и (13)
P
{
f
(
u
)
≤
f
(
u
)
} ≥
P
(
m
X
i
=1
C
i
u
i
≤
m
X
i
=1
C
i
u
i
)
≥
γ,
что доказывает неравенство (11).
I
Далее нетрудно убедиться, что определенная по (3) функция удо-
влетворяет условиям теоремы 1. Эта функция монотонно возрастает
по каждому параметру
u
i
, т.е. надежность системы возрастает при
увеличении параметров надежности элементов
u
i
,
i
= 1
, . . . , m
. Кро-
ме того, непосредственным дифференцированием можно показать, что
f
00
i
(
u
i
)
<
0
,
i
= 1
, . . . , m
, т.е. функция
f
(
u
)
выпукла вверх по векто-
ру параметров элементов
u
= (
u
1
, u
2
, . . . , u
m
)
. Следовательно, при
γ
≥
1
−
e
−
3
/
2
∼
= 0
,
777
нижняя
γ
-доверительная граница для функции
f
(
u
)
может быть вычислена как
f
=
f
(
u
)
. Поскольку коэффици-
ент готовности системы
K
(
u
) = exp [
f
(
u
)]
, аналогично может быть
вычислена и нижняя
γ
-доверительная граница для коэффициента го-
товности системы
K
=
K
(
u
) =
m
Y
i
=1
K
i
(
u
i
)
,
(15)
где
u
i
=
u
i
(
γ
)
— нижние доверительные границы (2) для параме-
тров отдельных элементов с тем же коэффициентом доверия
γ
. Таким
образом, в отличие от метода Ллойда – Липова [2] в его исходном ва-
рианте (см. (4)), в рассматриваемом подходе коэффициент доверия
γ
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4