4 / 8
нижнюю доверительную границу с заданным коэффициентом дове-
рия
γ
для показателя надежности системы (в рамках рассматривае-
мого метода), необходимо завысить коэффициент доверия в (2) для
элементов, т.е.
f
=
f
[
u
1
(
m
√
γ
)
, . . . , u
m
(
m
√
γ
)] ;
K
=
K
[
u
1
(
m
√
γ
)
, . . . , u
m
(
m
√
γ
)]
.
(4)
Модифицированный метод Ллойда – Липова.
Предложим метод,
который позволяет значительно улучшить указанную выше процеду-
ру (метод Ллойда – Липова [2]), основанную на непосредственном ис-
пользовании доверительных границ для параметров отдельных эле-
ментов. Для этого используем некоторые предварительные результаты
и неравенства.
Пусть
z
i
≥
0
,
i
= 1
, . . . , m
— независимые (неотрицательные)
случайные величины с функцией распределения
H
i
(
t
) =
P
{
ξ
i
< t
}
и плотностью распределения
h
i
(
t
) =
H
0
i
(
t
)
. Пусть
h
i
(
t
)
кусочно-
непрерывная по
t
≥
0
,
i
= 1
, . . . , m
, предположим, что функция
Λ
i
(
t
) =
−
ln [1
−
H
i
(
t
)]
выпукла вниз по
t
≥
0
, т.е. случайная ве-
личина
z
i
имеет ВФИ-распределение (с возрастающей функцией ин-
тенсивности отказов
λ
i
(
t
) = Λ
0
i
(
t
)
) для каждого
i
= 1
, . . . , m
. Пусть
константы
t
i
≥
0
,
i
= 1
, . . . , m,
удовлетворяют условиям
H
i
(
t
i
) =
P
{
z
i
≤
t
i
}
=
γ, i
= 1
, . . . , m,
(5)
где
γ
≥
1
−
e
−
3
/
2
∼
= 0
,
777
;
t
i
— квантиль доверия
γ
для случайной
величины
z
i
, i
= 1
, . . . , m
. Тогда справедливо неравенство
P
(
m
X
i
=1
z
i
≤
m
X
i
=1
t
i
)
≥
γ.
(6)
Докажем неравенство (6). Достаточно доказать его для
m
= 2
(по-
скольку сумма независимых случайных величин с ВФИ-распределени-
ем также имеет ВФИ-распределение). График выпуклой вниз функции
Λ
i
(
t
)
расположен выше касательной прямой в точке (
t
i
,
Λ
i
(
t
i
)
):
Λ
i
(
t
)
≥
[Λ
i
(
t
i
) +
λ
i
(
t
i
) (
t
−
t
i
)]
+
при всех
t
≥
0
,
(7)
где
y
+
= max (0
, y
)
,
λ
i
(
t
i
) = Λ
0
i
(
t
i
)
,
i
= 1
, . . . , m
.
Из (7) следует, что
P
{
z
1
+
z
2
≤
t
1
+
t
2
} ≥
P
(
2
X
i
=1
(
τ
i
+
y
i
)
≤
t
1
+
t
2
)
=
=
P
(
y
1
+
y
2
≤
2
X
i
=1
(
t
i
−
τ
i
)
)
.
(8)
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4