3 / 8
Обозначим через
S
i
=
x
i
1
+
x
i
2
+
. . .
+
x
ir
i
+(
N
i
−
r
i
)
x
ir
i
суммарное
время работы (“наработку”) всех элементов
i
-го типа на испытани-
ях,
i
= 1
, . . . , m
. Требуется на основе вектора результатов испытаний
по различным типам элементов системы
S
= (
S
1
, . . . , S
m
)
постро-
ить нижнюю
γ
-доверительную границу
K
=
K
(
S
)
для коэффициента
готовности системы (1), т.е. функцию результатов испытаний
K
(
S
)
такую, что
P
{
K
(
S
)
≤
K
(
u
)
} ≥
γ
при всех возможных значениях
вектора параметров
u
.
Метод Ллойда – Липова.
Рассмотрим случай, когда время работы
до отказа элементов системы имеет экспоненциальное распределение:
F
i
(
t
) = 1
−
exp (
−
t/u
i
)
, i
= 1
, . . . , m
. Обозначим через
u
i
=
u
i
(
γ
) =
2
S
i
χ
2
γ
(2
r
i
)
(2)
стандартную нижнюю
γ
-доверительную границу для параметра
u
i
(среднее время безотказной работы
i
-го элемента для “экспоненци-
ального случая” [1–3] и др.),
i
= 1
, . . . , m.
Коэффициент готовности
системы (1) может быть записан в виде
K
(
u
) = exp [
f
(
u
)]
,
где
f
(
u
) =
n
X
i
=1
f
i
(
u
i
)
.
(3)
Здесь
f
i
(
u
i
) = ln [
u
i
/
(
u
i
+
v
i
)]
,
i
= 1
, . . . , m.
Задачу можно сфор-
мулировать как задачу доверительного оценивания снизу функции
f
(
u
)
(3), которая монотонно возрастает по каждому параметру
u
i
,
i
= 1
, . . . , m.
Поэтому нижняя доверительная граница функции
f
(
u
)
может быть построена путем простой подстановки доверительных гра-
ниц
u
i
для параметров отдельных элементов в функцию (3). Когда
число
m
элементов системы велико, такая простая процедура, пред-
ложенная Д. Ллойдом и М. Липовым [1, 2, 5] оказывается малопригод-
ной. Действительно, в силу указанной монотонности, также учитывая
независимость результатов испытаний различных элементов, имеют
место неравенства
P
{
f
(
u
1
, . . . , u
m
)
≤
f
(
u
1
, . . . , u
m
)
} ≥
≥
P
(
m
\
i
=1
(
u
i
≤
u
i
)
)
=
m
Y
i
=1
P
(
u
i
≤
u
i
) =
γ
m
.
Согласно приведенному выражению, коэффициент доверия
γ
m
для
такой процедуры быстро убывает при возрастании размерности зада-
чи
m
. Таким образом, этот упрощенный подход, использующий только
монотонность функции
f
(
u
)
, оказывается неудачным при увеличении
числа
m
элементов в системе. Другими словами, чтобы построить
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
17