9 / 15
и линейный дифференциальный оператор
h
∂
∂z
0
,
∂
∂z
=
∞
X
γ
0
,γ
=0
p
γ
0
γ
∂
γ
0
+
γ
∂z
γ
0
0
∂z
γ
.
Вторая (прямая) система дифференциальных уравнений Колмого-
рова для переходных вероятностей в случае марковского процесса
(
ξ
0
t
, ξ
t
)
равносильна линейному уравнению в частных производных
k
-го порядка [13, 14]
∂F
(
α
0
,α
)
(
t
;
u, s
)
∂t
=
λ
(
h
(
u, s
)
−
s
k
)
∂
k
F
(
α
0
,α
)
(
t
;
u, s
)
∂s
k
с начальным условием
F
(
α
0
,α
)
(0;
u, s
) =
u
α
0
s
α
.
Первая (обратная) си-
стема дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных ве-
роятностей равносильна линейному уравнению в частных производ-
ных [13]
∂G
(
β
0
,β
)
(
t
;
z
0
, z
)
∂t
=
λz
k
h
∂
∂z
0
,
∂
∂z
−
∂
k
∂z
k
!
G
(
β
0
,β
)
(
t
;
z
0
, z
)
с начальным условием
G
(
β
0
,β
)
(0;
z
0
, z
) =
z
β
0
0
z
β
/
(
β
0
!
β
!)
.
Пусть марковский процесс находится в начальном состоянии
(
α
0
, α
)
и
α
>
k
; через случайное время
τ
(
α
0
,α
)
,
P
{
τ
(
α
0
,α
)
< t
}
= 1
−
−
e
−
α
(
α
−
1)
...
(
α
−
k
+1)
λt
,
происходит скачок с распределением вероятно-
стей
{
p
γ
0
γ
}
и процесс переходит в состояние
(
α
0
+
γ
0
, α
−
k
+
γ
)
. Далее
аналогичная эволюция случайного процесса, при этом возможна оста-
новка процесса в одном из состояний
{
(
γ
0
, β
)
, γ
0
∈
N, β
= 0
, . . . , k
−
1
}
.
Такой марковский ветвящийся процесс с взаимодействием соответ-
ствует кинетической схеме
kT
→
γ
0
T
0
+
γT
,
γ
0
, γ
= 0
,
1
, . . .
[13]; в
монографии [9] дана интерпретация случайного процесса как модели
химической цепной реакции или ядерной реакции с образованием
финального продукта
T
0
(см. [15]).
Из описания процесса
(
ξ
0
t
, ξ
t
)
следует, что, если рассматривать про-
цесс только в моменты изменения состояния, т.е. “вложенную цепь
Маркова” [16], то такая цепь совпадает с определенным ранее слу-
чайным блужданием
(
S
0
n
, S
n
)
при начальном условии
(
α
0
, α
)
∈
N
2
.
Вероятности остановки процесса
(
ξ
0
t
, ξ
t
)
совпадают с вероятностя-
ми остановки блуждания
(
S
0
n
, S
n
)
— существуют пределы
q
(
α
0
,α
)
(
γ
0
,β
)
=
= lim
t
→∞
P
(
α
0
,α
)
(
γ
0
,β
)
(
t
)
,
γ
0
∈
N
,
β
= 0
, . . . , k
−
1
[17].
Для вероятностей
q
(
α
0
,α
)
(
γ
0
,β
)
введем экспоненциальные производящие
функции
g
(
γ
0
,β
)
(
z
0
, z
) =
∞
X
α
0
,α
=0
z
α
0
0
z
α
α
0
!
α
!
q
(
α
0
,α
)
(
γ
0
,β
)
, γ
0
∈
N, β
= 0
, . . . , k
−
1
.
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2