6 / 15
Введем естественные условия
p
γ
0
γ
>
0
при некотором
γ
0
>
0;
p
γ
0
γ
>
0
при некотором
γ
>
k
+ 1
.
(9)
Для уравнения (7) при
u
= 1
выполнены условия леммы 2,
так так из определения (2) и условий (8), (9) следуют неравен-
ства
ϕ
k,k
−
1
(1)
>
0
, . . . , ϕ
k
0
(1)
>
0
и
ϕ
k,k
−
1
(1) +
. . .
+
ϕ
k
0
(1)
>
0
,
т.е. существует положительный корень
λ
0
кратности
1
, для корней
λ
1
, . . . , λ
k
−
1
имеем
|
λ
1
|
6
λ
0
, . . . ,
|
λ
k
−
1
|
6
λ
0
. Поскольку
1
>
ϕ
k,k
−
1
(1) +
+
. . .
+
ϕ
k
0
(1)
>
0
, то
λ
0
∈
(0
,
1]
.
Лемма 3.
Пусть для распределения вероятностей скачков
{
p
γ
0
γ
}
случайного блуждания выполнены условия
(8)
,
(9)
. Из определяемых
уравнением
(7)
функций
λ
0
(
u
)
, . . . , λ
k
−
1
(
u
)
выделим функцию
λ
0
(
u
)
с
условием
lim
u
↑
1
λ
0
(
u
) =
λ
0
. Тогда в области
|
u
|
< r
, где
r
>
1
,
выпол-
нятся неравенства
|
λ
l
(
u
)
|
6
λ
0
(
|
u
|
)
,
l
= 0
, . . . , k
−
1
.
(10)
В случае
p
00
+
. . .
+
p
0
,k
−
1
>
0
функция
λ
0
(
u
)
является аналитиче-
ской в области
|
u
|
< r
,
r
>
1
, и представляется рядом
λ
0
(
u
) =
∞
X
m
=0
r
m
u
m
, r
0
>
0
, r
1
>
0
, r
2
>
0
, . . .
(11)
При
p
00
+
. . .
+
p
0
,k
−
1
= 0
точка
u
= 0
— точка ветвления порядка
k
функции
λ
(
u
)
и в кольце
0
<
|
u
|
< r
,
r
>
1
, функцию
λ
0
(
u
)
можно
представить рядом
λ
0
(
u
) =
∞
X
m
=1
r
m
(
k
√
u
)
m
, r
1
>
0
, r
2
>
0
, . . . ,
(12)
где взята ветвь функции
k
√
u
такая, что
k
√
1 = 1
.
J
В случае
p
00
+
. . .
+
p
0
,k
−
1
>
0
при некотором
β
,
β
= 0
, . . . , k
−
1
,
имеем
p
0
β
>
0
и из определения (2) следует
ϕ
kβ
(0)
>
p
0
β
>
0
. Тогда
ϕ
kβ
(
ρ
)
>
0
при
0
6
ρ < r
(
r
>
1
) и подстановке параметра
ρ
в уравне-
ние (7),
−
λ
k
+
ϕ
k,k
−
1
(
ρ
)
λ
k
−
1
+
. . .
+
ϕ
k
0
(
ρ
) = 0
.
(13)
Для уравнения (13) выполнены условия леммы 2. Уравнение (13) име-
ет максимальный по модулю корень
λ
0
(
ρ
)
кратности
1
,
λ
0
(
ρ
)
>
0
.
Используем также неравенства
|
ϕ
kβ
(
u
)
|
6
∞
X
n
=1
q
(0
,k
)
(
n,β
)
|
u
|
n
=
ϕ
kβ
(
|
u
|
)
,
β
= 0
, . . . , k
−
1
.
(14)
Значение
λ
l
(
u
)
,
l
= 0
, . . . , k
−
1
, по определению удовлетворяет
равенству
−
λ
k
l
(
u
) +
ϕ
k,k
−
1
(
u
)
λ
k
−
1
l
(
u
) +
. . .
+
ϕ
k
0
(
u
) = 0
.
Отсюда с
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2
43