7 / 15
учетом (14) следует
|
λ
l
(
u
)
|
k
6
ϕ
k,k
−
1
(
|
u
|
)
|
λ
l
(
u
)
|
k
−
1
+
. . .
+
ϕ
k
0
(
|
u
|
)
,
или,
обозначая
|
u
|
=
ρ
,
|
λ
l
(
u
)
|
k
6
ϕ
k,k
−
1
(
ρ
)
|
λ
l
(
u
)
|
k
−
1
+
. . .
+
ϕ
k
0
(
ρ
)
.
Послед-
нее неравенство есть неравенство (6) из доказательства леммы 2 для
случая уравнения (13), и выполняется при
0
6
|
λ
l
(
u
)
|
6
λ
0
(
ρ
)
, l
= 0
, . . . , k
−
1
.
(15)
Возвращаясь в (15) к обозначению
ρ
=
|
u
|
, получаем (10).
Установим разложение в ряд (11). По теореме о неявной функции
(имеем
∂f
(
u, λ
)
∂λ
|
u
=
ρ,λ
=
λ
0
(
ρ
)
6
= 0
,
так как
λ
0
(
ρ
)
— корень кратности
1
уравнения (7) при
0
6
ρ <
1
), в некоторой области
|
u
|
< r
уравнением
(7) определен аналитический элемент
λ
0
(
u
) =
∞
X
m
=0
r
m
u
m
с действи-
тельными коэффициентами и
λ
0
(0) =
r
0
>
0
. Поскольку
|
λ
0
(
u
)
|
6
λ
0
(
|
u
|
)
и
λ
0
(
|
u
|
)
>
0
, функция
λ
0
(
u
)
имеет вид (11). Поскольку ряд (11) содер-
жит неотрицательные коэффициенты, точка
u
=
r
особая для функции
λ
0
(
u
)
. Однако на интервале
[0
,
1)
нет особых точек функции
λ
0
(
u
)
,
следовательно,
r
>
1
.
В случае
p
00
+
. . .
+
p
0
,k
−
1
= 0
имеем
ϕ
kβ
(0) = 0
при
β
= 0
, . . . , k
−
1
и
λ
0
(0) = 0
является корнем кратности
k
для уравнения (7) при
u
= 0
.
Для функции
λ
(
u
)
точка
u
= 0
— точка ветвления порядка
k
[12].
Неравенства (10) устанавливаются с помощью леммы 2. Рассуждения
при выводе представления (12) аналогичны первому случаю.
I
Лемма 4.
Пусть выполнены условия леммы 3. Производящая функ-
ция вероятностей остановки равна,
|
u
|
<
1
,
ϕ
αβ
(
u
) =
k
−
1
X
l
=0
C
β
l
(
u
)
λ
α
l
(
u
)
, α
= 0
,
1
,
2
, . . . ,
(16)
где функции
C
β
l
(
u
)
,
l
= 1
, . . . , l,
определяются начальными условия-
ми
(4).
J
Пусть
u
,
|
u
|
<
1
, таково, что для уравнения (7) значения корней
λ
0
(
u
)
, . . . , λ
k
−
1
(
u
)
различны. Решение уравнения в конечных разно-
стях (3) при различных корнях характеристического уравнения имеет
вид (16) [10].
Для определения функций
C
β
l
(
u
)
,
l
= 0
, . . . , k
−
1
, подставляем в
выражение (16) начальные условия (4) и получаем систему уравнений
C
β
0
(
u
) +
. . .
+
C
β
k
−
1
(
u
) =
δ
0
β
;
. . .
C
β
0
(
u
)
λ
i
0
(
u
) +
. . .
+
C
β
k
−
1
(
u
)
λ
i
k
−
1
(
u
) =
δ
i
β
;
. . .
C
β
0
(
u
)
λ
k
−
1
0
(
u
) +
. . .
+
C
β
k
−
1
(
u
)
λ
k
−
1
k
−
1
(
u
) =
δ
k
−
1
β
.
(17)
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2