4 / 15
Функции
ϕ
αβ
(
u
)
являются аналитическими в области
|
u
|
<
1
.
Лемма 1.
Последовательность производящих функций
ϕ
αβ
(
u
)
,
α
= 0
,
1
,
2
, . . . ,
удовлетворяет разностному уравнению,
|
u
|
6
1
,
ϕ
αβ
(
u
) =
ϕ
k,k
−
1
(
u
)
ϕ
α
−
1
,β
(
u
) +
. . .
+
ϕ
k
0
(
u
)
ϕ
α
−
k,β
(
u
)
,
(3)
с начальными условиями
ϕ
αβ
(
u
) =
δ
α
β
, α
= 0
, . . . , k
−
1
,
(4)
где
δ
α
β
= 0
,
если
α
6
=
β
,
и
δ
β
β
= 1
.
J
Пусть для случайного блуждания начальное состояние
(
S
0
0
, S
0
) =
= (0
, α
)
и
α
>
k
. С вероятностью
q
(0
,k
)
(
α
0
,k
−
l
)
случайное блуждание попа-
дет на некотором шаге впервые в состояние
(
α
0
, k
−
l
)
(
α
0
= 0
,
1
, . . . ,
l
= 1
, . . . , k
), минуя состояния из множества
{
(
n, α
−
m
)
,
n
= 0
,
1
,
. . . , m
= 1
, . . . , l
−
1
, l
+1
. . . , k
}∪{
(
n, α
−
l
)
, n
= 0
,
1
, . . . , α
0
−
1
, α
0
+
+ 1
, . . .
}
. В силу строго марковского свойства процесса
(
S
0
n
, S
n
)
спра-
ведливо соотношение
q
(0
,α
)
(
n,β
)
=
k
X
l
=1
n
X
α
0
=0
q
(0
,k
)
(
α
0
,k
−
l
)
q
(
α
0
,α
−
l
)
(
n,β
)
.
С учетом ра-
венства
q
(
α
0
,α
−
l
)
(
n,β
)
=
q
(0
,α
−
l
)
(
n
−
α
0
,β
)
получим
q
(0
,α
)
(
n,β
)
=
k
X
l
=1
n
X
α
0
=0
q
(0
,k
)
(
α
0
,k
−
l
)
q
(0
,α
−
l
)
(
n
−
α
0
,β
)
.
Учитывая определение (2), свертка последнего соотношения с помо-
щью производящей функции дает равенство
ϕ
αβ
(
u
)=
∞
X
n
=0
q
(0
,α
)
(
n,β
)
u
n
=
∞
X
n
=0
k
X
l
=1
n
X
α
0
=0
q
(0
,k
)
(
α
0
,k
−
l
)
q
(0
,α
−
l
)
(
n
−
α
0
,β
)
u
n
=
=
k
X
l
=1
∞
X
α
0
=0
q
(0
,k
)
(
α
0
,k
−
l
)
u
α
0
∞
X
n
=
α
0
q
(0
,α
−
l
)
(
n
−
α
0
,β
)
u
n
−
α
0
=
k
X
l
=1
ϕ
k,k
−
l
(
u
)
ϕ
α
−
l,β
(
u
)
(
|
u
|
6
1
; рассматриваемый ряд сходится абсолютно, законна переста-
новка знаков суммирования), т.е. равенство (3).
Начальные условия (4) следуют из определения (2) и равенств для
вероятностей остановки
q
(0
,α
)
(
n,β
)
= 0
,
если
α
= 0
,
1
, . . . , β
−
1
, β
+ 1
, . . . , k
−
1;
q
(0
,β
)
(0
,β
)
= 1
, q
(0
,β
)
(
n,β
)
= 0
,
если
n
= 1
,
2
, . . .
I
(5)
Лемма 2.
Пусть
a
k
−
1
>
0
, . . . , a
0
>
0
и
a
k
−
1
+
. . .
+
a
0
>
0
.
Уравнение
−
s
k
+
a
k
−
1
s
k
−
1
+
. . .
+
a
0
= 0
имеет положительный корень
λ
0
кратности
1
и корни
λ
1
, . . . , λ
k
−
1
лежат в круге
|
s
|
6
λ
0
(
каждый
корень считается столько раз, какова его кратность
)
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2
41