11 / 15
в результате имеем цепочку равенств
e
g
β
(
z
0
, z
;
u
) =
∞
X
γ
0
=0
∞
X
α
0
=0
∞
X
α
=0
z
α
0
0
z
α
α
0
!
α
!
q
(
α
0
,α
)
(
γ
0
,β
)
u
γ
0
=
=
∞
X
α
0
=0
z
α
0
0
u
α
0
α
0
!
∞
X
α
=0
z
α
α
!
∞
X
γ
0
=
α
0
q
(0
,α
)
(
γ
0
−
α
0
,β
)
u
γ
0
−
α
0
=
=
∞
X
α
0
=0
z
α
0
0
u
α
0
α
0
!
∞
X
α
=0
z
α
α
!
∞
X
n
=0
q
(0
,α
)
(
n,β
)
u
n
=
e
z
0
u
g
β
(
z, u
)
(
|
u
|
6
1
; рассматриваемый ряд сходится абсолютно, законна переста-
новка знаков суммирования). Подставляя последнее выражение в урав-
нение (23), получаем
h
∂
∂z
0
,
∂
∂z
−
∂
k
∂z
k
e
z
0
u
g
β
(
z, u
) =
=
e
z
0
u
h u,
∂
∂z
−
∂
k
∂z
k
g
β
(
z, u
) = 0
,
и приходим к равенству (21).
Граничные условия (22) получаем при подстановке равенств для
вероятностей остановки (5) в функцию (20) и в ее производные по
z
при
z
= 0
.
I
Основная теорема.
Для линейного дифференциального уравне-
ния (21) характеристическое уравнение имеет вид
h
(
u, s
)
−
s
k
= 0
.
(24)
В теореме 1 главную роль в выражении для производящей функции
g
β
(
z, u
)
играют ветви комплекснозначной функции
s
=
ϕ
(
u
)
, опреде-
ляемой по уравнению (24); при фиксированном параметре
u
значения
функции
ϕ
(
u
)
есть корни характеристического уравнения.
Лемма 6
[4].
Пусть выполнены условия
(8)
и уравнение
h
(1
, s
)
−
s
k
= 0
(25)
имеет два положительных корня
q
0
и
R
(
q
0
6
R
)
,
может быть совпа-
дающих. Тогда в круге
|
u
|
6
R
, кроме корней
q
0
и
R
, существуют корни
только в области
|
u
|
< q
0
, причем их
k
−
1 (
каждый корень считается
столько раз, какова его кратность
)
.
Уравнение (25) имеет корень
1
и далее всегда предполагается на-
личие двух положительных корней. Обозначим
q
1
, . . . , q
k
−
1
—
k
−
1
ближайших к нулю корня уравнения (25) и
q
0
∈
(0
,
1]
корень урав-
нения (25) кратности 1 или 2;
|
q
l
|
< q
0
,
l
= 1
, . . . , k
−
1
. Если
q
l
—
корень кратности
1
уравнения (25), то
∂h
(
u, s
)
∂s
u
=1
,s
=
q
l
6
=
kq
k
−
1
l
и по
48
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2