МАТЕМАТИКА
УДК 512.562
И. Г. Т а б а к о в а
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ШВАРЦА ДЛЯ ЗАДАННОЙ
ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ ОБЛАСТИ
Приведено решение задачи Шварца для голоморфных функций двух
комплексных переменных, указаны необходимые и достаточные
условия ее разрешимости.
Теория краевых задач для голоморфных функций многих комплекс-
ных переменных является быстро развивающейся ветвью многомер-
ного комплексного анализа в связи с широким применением резуль-
татов исследований как в математике (сингулярные и бисингулярные
интегральные уравнения, уравнения типа свертки и др.), так и при
рассмотрении большого числа прикладных задач в теории упругости,
гидродинамики и аэродинамики, дифракции, теории массового обслу-
живания, в теории переноса частиц и т.д.
Первоначально возникла пространственная краевая задача Римана
в трудах классиков математики Б. Римана, Д. Гильберта, А. Пуанкаре
как единственное чисто теоретическое обобщение одномерной крае-
вой задачи Римана.
Теория краевых задач для голоморфных функций получила свое
дальнейшее развитие в работах В.С. Владимирова [3], Г.Л. Луканкина
[10–14], В.И. Боганова [1], И.Н. Виноградовой [2], Х.П. Дзебисова
[5, 6], С.Ю. Колягина, А.В. Латышева [8, 14], С.В. Рындиной [14],
О.В. Лобановой [9], А.Л. Краснощекова [7] и др.
В настоящей статье исследуется задача Шварца для биполуплос-
кости, указываются необходимые и достаточные условия разрешимо-
сти такой задачи и проведено сопоставление этих условий с анало-
гичными условиями в задаче Шварца для бикруга. Здесь же рассмо-
трен аналог задачи Дирихле для бигармоничесной функции с кусочно-
постоянными предельными значениями, заданными на прямоугольни-
ках, исчерпывающих
R
x
1
x
2
2
. С помощью этой задачи получен простой
аналог двумерного интеграла Кристоффеля–Шварца.
Задача Шварца.
Как известно [6], задача Шварца для бикруга
формулируется следующим образом: найти функцию
F
(
w
1
, w
2
) =
u
+
+
iv
, голоморфную в бикруге
B
2
=
{
(
w
1
, w
2
) :
|
w
1
|
<
1
,
|
w
2
|
<
1
}
=
=
r
+
×
Δ
+
по вещественной функции
u
(
t
1
, t
2
)
, заданной и непрерыв-
ной по Гельдеру на остове
T
2
=
{
(
t
1
, t
2
) :
|
t
1
|
= 1
,
|
t
2
|
= 1
}
границы
круга
B
2
.
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
