Пусть теперь заданы точки
a
1
, a
2
, . . . , a
n
(
−∞
< a
1
< . . . < a
n
=
∞
)
и
b
1
, b
2
, . . . , b
m
(
−∞
< b
1
< . . . < b
m
=
∞
)
, принадлежащие соответ-
ственно действительным осям
x
1
и
x
2
.
Рассмотрим следующую задачу Дирихле: найти в
D
бигармо-
ническую функцию
u
(
z
1
, z
2
)
, принимающую на прямоугольниках
M
ij
=
{
[
a
i
−
1
, a
i
)
,
[
b
j
−
1
, b
j
)
}
постоянные значения
u
ij
.
Используя формулу (27), убедимся, что решение этой задачи имеет
вид
u
(
z
1
, z
2
) =
n
X
i
=0
m
X
j
=0
u
ij
π
2
(
ϕ
j
+1
−
ϕ
i
)(
ψ
j
+1
−
ϕ
j
) =
=
n
X
i
=1
m
X
j
=1
1
π
2
(
u
i
−
1
j
−
1
−
u
ij
−
1
−
u
i
−
1
j
+
u
ij
)
ϕ
i
ψ
j
+
n
X
i
=1
1
π
(
u
i
−
1
m
−
u
im
)
ϕ
i
+
+
m
X
j
=1
1
π
(
u
nj
−
1
−
u
nj
)
ψ
j
+
u
nm
,
(29)
где
ϕ
0
=
ψ
0
= 0
,
ϕ
n
+1
=
ψ
m
+1
=
π.
Следовательно, справедлива
Лемма 2.
Решение задачи Дирихле для функции, бигармонической
в биполуплоскости
D
, принимающей кусочно-постоянные значения
u
ij
на прямоугольниках
M
ij
, определяется по формуле (28). В частно-
сти, если
Δ
u
ij
=
u
i
−
1
j
−
1
−
u
ij
−
1
−
u
i
−
1
j
+
u
ij
= 0
,
то
u
ij
=
u
i
0
−
u
0
j
−
u
00
, а формула (28) становится более простой:
u
(
z
1
, z
2
) =
n
X
i
=1
1
π
(
u
i
−
10
−
u
i
0
)
ϕ
i
+
m
X
j
=1
1
π
(
u
0
j
−
1
−
u
0
j
)
ψ
j
+
u
nm
.
(30)
Теперь рассмотрим двумерный аналог задачи Кристоффеля–Швар-
ца: найти функцию
f
(
z
1
, z
2
)
, голоморфную в
D
, такую, что при каж-
дом фиксированном
z
1
(
z
2
)
она отображает верхнюю полуплоскость
Im
z
2
>
0
( Im
z
1
>
0
) на внутренность ограниченного многоугольни-
ка
Δ
2
(Δ
1
)
с углами
β
k
π
(
α
j
π
)
, где
0
< β
k
, α
j
6
2
, k
= 1
, . . . , m
,
j
= 1
, . . . , n
, предполагая, что известны точки
b
k
(
a
j
)
действительной
оси
x
2
(
x
1
)
, соответствующие вершинам многоугольника
Δ
2
(Δ
1
)
.
Для решения задачи введем в рассмотрение функцию
u
(
z
1
, z
2
) = arg
f
00
z
1
z
2
(
z
1
, z
2
) =
Im
ln
f
00
z
1
z
2
(
z
1
, z
2
)
,
и будем искать ее с помощью формулы (29). Полагая [10]
u
j
−
10
−
u
j
0
= (
α
j
−
1)
π, u
0
k
−
1
−
u
0
k
= (
β
k
−
1)
π, u
mn
= 0
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
51
