из формулы (29) будем иметь
u
(
z
1
, z
2
) =
n
X
j
=1
(
α
j
−
1)
ϕ
j
+
m
X
k
=1
(
β
k
−
1)
ψ
k
+
θ
=
=
θ
+
n
X
j
=1
(
α
j
−
1) arg(
z
1
−
a
j
) +
m
X
k
=1
(
β
k
−
1) arg(
z
2
−
b
k
)
.
По известной мнимой части
u
(
z
1
, z
2
)
восстанавливаем аналитическую
функцию
ln
f
00
z
1
z
2
(
z
1
, z
2
) =
= ln
C
0
+
iθ
+
n
X
j
=1
(
α
j
−
1) ln (
z
1
−
a
j
) +
m
X
k
=1
(
β
k
−
1) ln (
z
2
−
b
k
)
.
Отсюда потенцированием и интегрированием находим, что
f
(
z
1
, z
2
) =
CF
1
(
z
1
)
F
(
z
2
) +
ϕ
1
(
z
1
) +
ϕ
2
(
z
2
) +
C
1
,
(31)
где
F
1
(
z
1
) =
z
1
Z
z
0
1
n
Y
j
=1
(
z
1
−
a
j
)
α
j
−
1
dz
1
, F
2
(
z
2
) =
z
2
Z
z
0
2
m
Y
k
=1
(
z
2
−
b
k
)
β
k
−
1
dz
2
,
(32)
C
=
C
0
e
iθ
, C
1
, u, z
0
1
, z
0
2
— некоторые постоянные, а
ϕ
1
(
z
1
)
и
ϕ
2
(
z
2
)
—
произвольные аналитические функции, такие, что
ϕ
j
z
0
j
= 0
.
Из формулы (30) следует, что
f z
0
1
, z
2
=
ϕ
2
(
z
2
) +
C
1
, f z
1
, z
0
2
=
ϕ
1
(
z
1
) +
C
1
.
По условию функция
f
(
z
0
1
, z
2
) (
f
(
z
1
, z
0
2
))
также должна отобра-
жать верхнюю полуплоскость Im
z
2
>
0 (
Im
z
1
>
0)
на внутренность
ограниченного многоугольника
Δ
2
(Δ
1
)
, поэтому [10]
ϕ
2
(
z
2
) =
λ
2
F
2
(
z
2
) (
ϕ
1
(
z
1
) =
λ
1
F
1
(
z
1
))
,
где
λ
2
(
λ
1
)
— некоторая постоянная. Отсюда следует
Лемма 3
. Решение двумерной задачи Кристоффеля–Шварца дает
функция
f
(
z
1
, z
2
) =
CF
1
(
z
1
)
F
2
(
z
2
) +
λ
1
F
1
(
z
1
) +
λ
2
F
2
(
z
2
) +
C
1
=
=
C
(
F
1
(
z
1
) +
μ
1
) (
F
2
(
z
2
) +
μ
2
)
,
где
C, μ
1
, μ
2
— произвольные комплексные числа, а
F
j
(
z
j
)
,
j
= 1
,
2
,
определяются по формулам (31).
52
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
