=
y
3
−
j
π
∞
Z
−∞
γ
j
(
ξ
3
−
j
)
dξ
3
−
j
y
2
3
−
j
+ (
ξ
3
−
j
−
x
3
−
j
)
2
≡
(
П
3
−
j
γ
j
)(
z
3
−
j
)
, j
= 1
,
2;
(13)
U
0
(
z
1
, z
2
) =
1
2
π
2
∞
ZZ
−∞
γ
0
(
ξ
1
, ξ
2
)
Re
−
1
(
ξ
1
−
z
1
)(
ξ
2
−
z
2
)
dξ
1
dξ
2
=
=
1
2
π
2
∞
ZZ
−∞
γ
0
(
ξ
1
, ξ
2
)
y
1
y
2
−
(
ξ
1
−
x
1
) (
ξ
2
−
x
2
)
y
2
1
+ (
ξ
1
−
x
1
)
2
y
2
2
+ (
ξ
2
−
x
2
)
2
dξ
1
dξ
2
.
(14)
Учитывая равенство
y
π
∞
Z
−∞
dt
y
2
+ (
t
−
x
)
2
= 1
,
получим формулу Пуассона
U
(
z
1
, z
2
) = (
П
12
γ
) (
z
1
, z
2
)
−
−
1
2
π
2
∞
ZZ
−∞
y
1
y
2
−
(
ξ
1
−
x
1
) (
ξ
2
−
x
2
)
y
2
1
+ (
ξ
1
−
x
1
)
2
y
2
2
+ (
ξ
2
−
x
2
)
2
γ
0
(
ξ
1
, ξ
2
)
dξ
1
dξ
2
,
(15)
где
(
П
12
γ
) (
z
1
, z
2
) =
y
1
y
2
π
2
∞
ZZ
−∞
γ
0
(
ξ
1
, ξ
2
)
dξ
1
dξ
2
y
2
1
+ (
ξ
1
−
x
1
)
2
y
2
2
+ (
ξ
2
−
x
2
)
2
,
соответствующую исходной задаче Шварца (3).
Исходя из формул (12) и (13), убедимся также, что имеют место
формулы Шварца
Φ
j
(
z
3
−
j
) = (
K
3
−
j
γ
j
) (
z
3
−
j
) =
1
πi
∞
Z
−∞
γ
j
(
ξ
3
−
j
)
dξ
3
−
j
ξ
3
−
j
−
z
3
−
j
, j
= 1
,
2
,
Φ
0
(
z
1
, z
2
) = (
K
12
γ
0
) (
z
1
, z
2
) =
1
2(
πi
)
2
∞
ZZ
−∞
γ
0
(
ξ
1
, ξ
2
)
dξ
1
dξ
2
(
ξ
1
−
w
1
) (
ξ
2
−
w
2
)
,
а решение исходной задачи Шварца (3) дает формула
Ф
(
z
1
, z
2
) = (
K
12
γ
) (
z
1
, z
2
)
−
1
2
(
K
12
γ
0
) (
z
1
, z
2
) +
iC.
(16)
Итак, имеет место
Теорема 1.
Задача Шварца для биполуплоскости разрешима то-
гда и только тогда, когда заданная функция
γ
(
x
1
, x
2
)
2
W
∩
H
ˆΓ
2
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
47
