Необходимые и достаточные условия разрешимости этой задачи
таковы [6]:
(
Ku
) (
w
1
, w
2
) =
(
Ku
) (
w
1
,
0)
,
(
w
1
, w
2
)
2 r
−
×
Δ
+
;
(
Ku
) (0
, w
2
)
,
(
w
1
, w
2
)
2 r
+
×
Δ
−
,
(1)
где
r
±
=
{|
w
|
6
1
}
и
(
Ku
) (
w
1
, w
2
)
≡
1
(2
πi
)
2
ZZ
T
2
u
(
τ
1
, τ
2
)
(
τ
1
−
w
1
) (
τ
2
−
w
2
)
dτ
1
dτ
2
.
При выполнении условий разрешимости (1) решение задачи Шварца
для бикруга дает формула
F
(
w
1
, w
2
) = 2 (
Ku
) (
w
1
, w
2
)
−
(
Ku
) (0
,
0) +
iC,
(2)
где
С
— произвольная вещественная постоянная.
Задачу Шварца для биполуплоскости
D
=
{
(
Z
1
, Z
2
) :
Im
Z
1
>
0
,
Im
Z
2
>
0
}
сформулируем так: найти функцию
Ф
(
z
1
, z
2
) =
u
+
iv
, голоморфную
в
D
и непрерывную на
ˆ
Г
2
=
Г
2
∪ {
(
∞
,
∞
)
}
,
где
Γ
2
=
{
(
Z
1
, Z
2
) :
Im
Z
1
= 0
,
Im
Z
2
= 0
}
— остов границы
∂D
, по ее вещественной
части
γ
(
x
1
, x
2
)
2
ˆ
W
∩
H
ˆΓ
2
, где
ˆ
W
— кольцо непрерывных на
ˆ
Г
2
функций,
Re
Ф
|
ˆ
Г
2
≡
U
|
ˆ
Г
2
=
γ.
(3)
Принимая во внимание, что каждую непрерывную функцию
g
(
x
1
, x
2
)
, определенную на
Г
2
, можно задать с помощью структурной
формулы [4]
g
(
x
1
, x
2
) =
g
12
+
g
1
(
x
2
) +
g
2
(
x
1
) +
g
0
(
x
1
, x
2
)
,
(4)
где
g
(
∞
, x
2
) =
g
12
+
g
1
(
x
2
);
g
(
x
1
,
∞
) =
g
12
+
g
2
(
x
1
);
g
(
∞
,
∞
) =
g
12
,
перепишем граничное условие (3) в виде четырех соотношений:
U
12
=
γ
12
;
Re
Ф
j
(
x
3
−
j
) =
γ
j
(
x
3
−
j
)
, j
= 1
,
2
,
Re
Ф
0
(
x
1
, x
2
) =
γ
0
(
x
1
, x
2
)
.
(5)
Положим
ϕ
j
(
ξ
3
−
j
) =
=
1
√
2
π
∞
Z
−∞
γ
j
(
x
3
−
j
)
e
−
ix
3
−
j
ξ
3
−
j
dx
3
−
j
≡
V
−
1
3
−
j
γ
j
(
ξ
3
−
j
)
, j
= 1
,
2
,
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
45
