4 / 14
точке
x
i
∈
X
значение отклика
y
i
также имеет нормальный закон рас-
пределения с параметрами
M
y
i
=
ϕ
(
x
)
и
D
y
i
=
σ
2
:
y
i
∼
N
[
ϕ
(
x
)
, σ
]
.
Это допущение позволяет использовать для решения указанных задач
аппарат теории проверки статистических гипотез.
При оценивании точности модели требуется знать дисперсию вос-
производимости
σ
2
y
, причем при ее оценке следует одновременно про-
верять допущение о постоянстве дисперсии
σ
2
y
в различных точках
Х
[14–17]. Чтобы оценить дисперсию воспроизводимости
σ
2
=
σ
2
y
,
необходимо иметь параллельные наблюдения в каждой точке
x
i
∈
X
[9–11].
Если
y
i
1
, y
i
2
, y
i
3
, . . . , y
ij
, . . . , y
ir
i
— значения отклика в точке
x
i
, то
наилучшая оценка дисперсии
y
i
в этой точке
σ
2
i
= D
y
i
имеет вид (при
r
i
=
r
):
σ
2
i
'
S
2
i
=
1
r
−
1
r
P
j
=1
(
y
ij
−
ˉ
y
i
)
2
.
Для проверки справедливости допущения о постоянстве диспер-
сии
σ
2
y
проверяем гипотезу
H
0
:
σ
2
i
=
σ
2
по критерию Кохрена (на
некотором уровне значимости
α
). Если гипотеза
H
0
принимается, то
общую оценку дисперсии
σ
2
y
можно получить усреднением оценок
S
2
i
:
σ
2
'
S
2
=
1
n
(
r
−
1)
n
X
i
=1
r
X
j
=1
(
y
ij
−
ˉ
y
i
)
2
.
При отклонении гипотезы
H
0
необходимо проанализировать при-
чины ее отклонения и принять меры для обеспечения однородности
D
y
i
=
σ
2
i
(например, сужая область проведения эксперимента
Ω
⊂
X
).
Отметим, что возможность проверки гипотезы
H
0
обеспечена
допущением о нормальности распределения погрешностей [7–9]:
S
2
=
n
X
i
=1
α
i
S
2
i
,
α
i
= (
r
i
−
1)
/
n
X
i
=1
(
r
i
−
1)
.
Регрессионная модель
_
y
(
x
) =
l
X
k
=0
_
β
k
f
k
(
E
)
является наилуч-
шей в аппроксимирующем пространстве
˜
L
, зависящем от вида и чи-
сла базисных функций
{
f
k
(
E
)
}
l
1
, если погрешность
δ
=
k
y
i
−
ˉ
y
i
k
=
=
n
X
k
=1
(ˉ
y
i
−
_
y
(
x
i
))
2
= min
.
Однако это не означает, что величина
δ
нас удовлетворяет, и ре-
грессионная модель может быть признана адекватной (хорошо согла-
сующейся с наблюдениями
y
ij
). Все зависит от того, насколько по-
грешность
δ
велика на фоне “шума”, связанного с погрешностями
эксперимента
ε
i
. Общую погрешность регрессионной модели, назы-
ваемую остаточной суммой квадратов отклонений
Q
0
, можно предста-
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1