11 / 14
где
Q
1
= Y
0
Y
−
b
β
0
X
0
Y
, причем
b
β
= (X
0
X)
−
1
X
0
Y
. Величина
s
2
r
=
Q
1
/
(
n
−
r
)
,
r
=
p
+1 = (
k
+1)(
k
+2)
/
2
— ранг матрицы
X
, равный
числу неизвестных коэффициентов в уравнении. Гипотеза адекватно-
сти модели отклоняется, если
s
2
r
/
s
2
e
> F
α
;
n
−
r,n
0
−
1
. Здесь пороговое зна-
чение
F
α
;
n
−
r,n
0
−
1
определяется из условия
P
{
F
n
−
r,n
0
−
1
>F
α
;
n
−
r,n
0
−
1
}
=
=
α
, где
F
n
−
r,n
0
−
1
— случайная величина, имеющая распределение
Фишера с
n
−
r
и
n
0
−
1
степенями свободы.
При отклонении гипотезы для описания поверхности отклика мо-
гут быть использованы полиномы третьей степени. При этом планиро-
вание эксперимента может осуществляться с помощью ротатабельных
планов третьего порядка. Для них так же, как и для планов второго
порядка, могут быть аналогичным способом сформулированы необ-
ходимые и достаточные условия ротатабельности. В случае принятия
гипотезы дальнейшее исследование сводится к исследованию поверх-
ности второго порядка.
Заключение.
Подробно изложена проблема проверки гипотезы
адекватности модели при использовании теории планирования экс-
перимента. В формальной постановке сформулирована общая зада-
ча проверки адекватности моделей. Дана исходная постановка зада-
чи проверки гипотезы адекватности линейной модели наблюдений.
Задача проверки гипотезы адекватности функции отклика сформули-
рована как задача проверки гипотезы адекватности линейной модели
наблюдений. Показано, что хотя задача проверки гипотезы адекватно-
сти может быть сформулирована в терминах задачи проверки общей
линейной гипотезы, отличие ее от последней весьма существенно.
Введены понятия истинной и адекватной моделей с использованием
теории планирования эксперимента. Особое внимание уделено раз-
личию этих понятий при ротатабельном планировании. Установлено,
что если модель истинна, то она также будет и адекватной. Обратное
утверждение неверно. Приведены необходимые и достаточные усло-
вия существования адекватных моделей. Из этих условий следует, что
адекватная модель не единственна. Кроме того, класс адекватных мо-
делей бесконечен. Исследована мощность критерия при проверке ги-
потезы адекватности. Регрессионная модель, прошедшая проверку на
адекватность и значимость коэффициентов, может быть применена
для решения различных практических задач, основными из которых
являются:
— нахождение экстремальных условий протекания процесса, мо-
дель которого построена;
— определение значений отклика в той части факторного простран-
ства, где эксперимент не проводится, т.е. либо интерполяция,
либо экстраполяция (прогнозирования) отклика.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1
13