3 / 6
где
g
(
ξ, τ
)
— неизвестная функция координат и времени. Для упроще-
ния поиска решения были введены обозначения
s
= sin
nξ
η
, f
=
n
η
2
τ, g
=
g
(
ξ, τ
)
,
Ψ
n
=
2
a
1
/
2
s
(exp(
−
if
))
g,
(5)
а также учтены линейные зависимости
s
∝
sin
nξ
η
;
∂s
∂τ
∝
ξn
∂
∂τ
1
η
cos
nξ
η
;
∂s
∂ξ
∝
n
η
cos
nξ
η
;
∂
2
s
∂ξ
2
∝
n
η
2
sin
nξ
η
.
(6)
Теперь задача сводится к получению уравнения для функции
g
(
ξ, τ
)
.
Получение уравнения для функции
g
(
ξ, τ
)
и его решение.
После
подстановки волновой функции (4) в каноническое уравнение Шре-
дингера (2), учета формул (5) и (6) и разделения слагаемых, содержа-
щих синус и косинус, была получена следующая система уравнений
для неизвестной функции
g
:
i
∂g
∂τ
+
∂
2
g
∂ξ
2
−
"
2
τ
η
n
η
2
∂η
∂τ
#
g
= 0;
(7)
∂g
∂ξ
−
i
1
2
η
∂η
∂τ
ξg
= 0
.
(8)
Решение системы уравнений (7), (8) начнем с анализа уравнения (8).
Его решение искалось в виде произведения
g
(
ξ, τ
) = exp
Q
(
τ
)
ξ
2
2
+
F
(
τ
)
,
(9)
где
Q
(
τ
)
, F
(
τ
)
— неизвестные функции безразмерного времени. Под-
ставляя (9) в (8), находим функцию
Q
(
τ
)
:
Q
(
τ
) =
i
2
η
∂η
(
τ
)
∂τ
.
(10)
Здесь
η
(
τ
)
— закон движения стенки в безразмерной форме согласно
формуле (1). После подстановки (9) в (7) с учетом формулы (10) по-
лучим уравнение для неизвестной функции
F
(
τ
)
и дополнительное
условие
i
∂F
∂τ
+
i
2
η
∂η
∂τ
+
τn
2
∂
∂τ
1
η
2
= 0;
(11)
1
η
∂
2
η
∂τ
2
= 0
.
(12)
При этом условие (12) выполняется только для фиксированного закона
движения стенки
η
= 1 +
βτ,
(13)
42
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6