2 / 6
времени [10–12]. Поэтому авторами настоящей работы была проана-
лизирована задача временн´ой эволюции непроницаемой границы од-
номерной прямоугольной потенциальной ямы.
Постановка задачи.
Рассмотрим одномерную прямоугольную по-
тенциальную яму с непроницаемыми стенками. Пусть левая стенка
x
= 0
неподвижна, а правая стенка начинает перемещаться в момент
времени
t
= 0
из положения
x
=
a
и при
t >
0
совершает движение
по закону
b
(
t
) =
aη
(
t
)
,
(1)
где
η
(
t
)
— заданная безразмерная координата движущейся стенки;
x
=
b
— текущее положение стенки; в начальный момент времени ча-
стица находится в
n
-м стационарном состоянии, соответствующем ши-
рине ямы, равной
a
. Введем безразмерную координату микрочастицы
в яме
ξ
=
πx/a
и безразмерное время
τ
=
E
1
t/
~
. Здесь
E
1
=
(
π
~
)
2
2
ma
2
—
энергия микрочастицы в основном состоянии в момент времени
t
= 0
;
2
π
~
=
h
— постоянная Планка;
m
— масса микрочастицы. Нестацио-
нарное уравнение Шредингера, описывающее движение микрочасти-
цы, во введенных координатах принимает вид
∂
Ψ
∂τ
=
i
∂
2
Ψ
∂ξ
2
,
(2)
где
Ψ = Ψ(
ξ, τ
)
— волновая функция микрочастицы.
Уравнение (2) следует решать при выполнении граничных условий
Ψ(0
, τ
) = 0
S
Ψ(
πη
(
τ
)
, τ
) = 0
и начального условия
Ψ(
ξ,
0) = Ψ
n
(
ξ
) =
=
2
a
1
/
2
sin(
nξ
)
,
n
= 1
,
2
,
3
, . . .
, т.е. в начальный момент времени ми-
крочастица находится в
n
-м стационарном состоянии, соответствую-
щем ширине ямы
a
.
Исходная волновая функция.
Решение задачи проведем, выбрав
определенное значение квантового состояния с номером
n
, т.е. пола-
гая
Ψ(
ξ, τ
)
≡
Ψ
n
(
ξ, τ
)
.
Если правая стенка неподвижна, то волновая
функция частицы имеет следующий вид:
Ψ
n
(
ξ, τ
) =
2
a
1
/
2
sin(
nξ
) exp(
−
in
2
τ
)
.
(3)
Форма поиска решения уравнения Шредингера.
Сохраняя клас-
сификацию решений уравнения Шредингера, получаем решение в
форме
Ψ
n
(
ξ, τ
) =
2
a
1
/
2
sin
nξ
η
exp
−
i
n
η
2
τ
!!
g
(
ξ, τ
)
,
(4)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
41