4 / 12
Волны Фарадея.
Пусть сосуд колеблется в вертикальном напра-
влении и зафиксирован горизонтально:
ϕ
1
6
= 0
, ϕ
2
= 0
. Смещение
свободной поверхности жидкости может быть задано в виде
y
(
x, t
) = 0
,
5
H
(
t
) cos
kx,
где
H
(
t
)
— высота стоячей волны;
k
=
πn/L
— волновое число;
n
—
номер волновой моды, равный числу узлов стоячей волны;
L
— длина
сосуда;
x
и
y
— координаты точек свободной поверхности жидкости
в системе координат, жестко связанной с сосудом. Согласно работам
[13–15], уравнение, определяющее функцию
H
(
t
)
, имеет вид
H
00
(
t
) + 2
bH
0
(
t
) + (
ω
2
−
Ω
2
ks
cos Ω
t
)
H
(
t
) = 0
.
Здесь действующая между частицами жидкости сила трения пропор-
циональна их скорости с коэффициентом
b
;
ω
=
√
gk
th
kh
— линейная
частота волны;
g
— ускорение силы тяжести.
Если ввести безразмерную переменную
τ
= Ω
t/
2
и выполнить
преобразование
H
(
τ
) =
e
−
δτ
H
1
(
τ
)
, то функция
H
1
(
τ
)
удовлетворяет
уравнению Матье в канонической форме
H
00
1
+ [
p
−
2
q
cos 2
τ
]
H
1
= 0
,
где
δ
= 2
b/
Ω;
q
= 2
sκ
;
p
= (2
ω/
Ω)
2
−
δ
2
.
Предполагается, что в начальный момент времени амплитуда вол-
нового возмущения мала:
H
1
(
τ
) 1
. Тогда из анализа уравнения Ма-
тье следует, что если частота колебаний
Ω
сосуда принадлежит зоне
неустойчивости, описываемой неравенством [16, 17]
1
−
p
(2
sk
)
2
−
4
b
2
/ω
2
<
2
ω/
Ω
<
1 +
p
(2
sk
)
2
−
4
b
2
/ω
2
,
то тривиальное решение теряет устойчивость и колебания нарастают
по экспоненциальному закону.
С учетом теоретической модели [17], в которой асимптотическое
решение нелинейной задачи о поверхностных волнах Фарадея по-
строено в переменных Лагранжа методом Крылова – Боголюбова, ре-
зонансные зависимости высоты стационарной волны от частоты пара-
метрического воздействия определяются по соотношению
k
2
ωβH
2
±
= 4
ω
−
Ω
/
2
±
q
(
sω
2
Ω
/
2
g
)
2
−
b
2
,
(1)
где
β
= th
−
4
kh
(2 th
6
kh
+ 3th
4
kh
+ 12th
2
kh
−
9)
/
64
;
Н
+
и
Н
−
—
величины, соответствующие реализуемой в эксперименте устойчивой
и неустойчивой ветвям резонансной зависимости.
Экспериментальные (кривые
1
,
3
) и расчетная (кривая
5
) резо-
нансные зависимости для первой волновой моды в неподвижном со-
суде (
X
= 0
или
ϕ
2
= 0
) приведены на рис. 2. При глубине жид-
кости
h
= 10
см зависимости
H
(Ω)
соответствуют случаю жесткой
восстанавливающей силы (
β
=
−
0
,
801
): высота волны возрастает с
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1
17