3 / 7
Влияние скачкообразного изменения магнитного поля на течение бингамовской жидкости…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
19
2
1
.
dV S H V
dt
z
= − −
(3)
Уравнение (3) содержит две неизвестные функции
( )
V t
и
( ),
z t
которые не
являются полностью независимыми [8]. В качестве зависимости, связывающей
функции
( )
z t
и
( ),
V t
возьмем выражение для скорости движения зоны пла-
стического течения, приведенное в работе [9]:
2
1
1
1
.
ch ( (1 ))
V
H
H z
=
−
−
(4)
Подставляя (4) в (3), получаем уравнение
ch ( (1 )) 1 ,
th ( (1 ))
dz
H S H z
dt
H z z
=
− −
−
(5)
определяющее зависимость положения границы зоны пластического течения
( )
z t
от времени при заданном начальном условии (начальном положении гра-
ницы)
0
(0)
.
z
z
=
С помощью уравнения (5) можно исследовать процесс измене-
ния границы зоны пластического течения
( )
z t
в результате воздействия скач-
кообразно (внезапно) изменившегося магнитного поля, при котором параметр
Гартмана скачкообразно увеличивается от
Н
0
до
Н.
Исходное положение границы зоны пластического течения
0
(0)
z
z
=
в
началь-ный момент времени, соответствующее предшествующему стационарному
состоянию при
Н = Н
0
, можно найти из (2), если приравнять нулю правую часть —
сумму действующих сил — и перейти к указанным выше безразмерным парамет-
рам.
В результате получим уравнение
(
)
(
)
0
0
0
ch 1
,
z S H z
=
−
решение которого находилось графическим способом. Например, при
Н
0
= 0,4 и
S
= 0,2
0
0, 54.
z
=
Для определения характера зависимости
( )
z t
было выполнено численное
решение уравнения (5) методом Рунге — Кутты четвертого порядка и методом
«прогноз–коррекция» (прогноз по Адамсу — Башфорту, коррекция по Адамсу —
Мултону, значение первых шести точек вычисляются методом Рунге — Кутты чет-
вертого порядка) [10] при начальном условии
0
(0)
.
z
z
=
При этом шаг интегриро-
вания одношаговых методов
,
t
Δ
зависящий от значений правой части, выбран из
условия
0
0
(0, )
1 %
f y t
y
Δ <
и принят равным 0,001.
Результаты расчетов зависимости
( )
z t
для некоторых значений параметров
S
и
H
представлены на рис. 2 в виде графиков, по которым можно судить о
характере изменения границы зон с течением времени.