7 / 18
В.А. Грибков, А.О. Хохлов
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2
каждого звена. Такие же обозначения использованы для двойного и одинарного
маятников с нумерацией звеньев
( 1, )
i
N
от оси подвеса маятника (корневого
шарнирного узла).
Уравнения движения маятников получены с учетом допущений, аналогич-
ных допущениям, которые введены в работе [17] через уравнения Лагранжа
второго рода. В качестве основных обобщенных координат использованы угло-
вые отклонения
i
звеньев маятников от вертикали (ось
oy
направлена верти-
кально вверх навстречу ускорению свободного падения
g
).
Общая форма записи векторно-матричного уравнения движения маятни-
ков с числом
N
степеней свободы (
N
=1, 2, 3):
2
2
( )
0,
d
t
dt
φ
M C φ
(1)
где
M
— положительно определенная симметрическая инерционная матрица;
,
N
φ
1 2
, , , , ,
i
N
φ
— вектор обобщенных координат (угловых от-
клонений звеньев маятника от вертикали);
( )
t
C
— диагональная
T
-периодическая
(
2
T p
) матрица квазижесткости.
Ненулевые элементы матрицы
M
: при
i j
2
2
1
;
N
ij
i
i
m
ci
i
m i
m I l m l
m
при
i j
1
;
N
ij
i
j
cj
m
m
j
j
m l l m l
m
при
i j
;
j
ij
i
m m
ненулевые элементы мат-
рицы
( )
t
C
при
i j
2
2
1
cos
( )
.
i
N
ci i
m
i
m i
j
Ap
pt g l m l
m
c t
В матрице квазижесткости учтено действие кинематического возбуждения
оси подвеса корневого звена
cos .
A pt
Для одинарного обращенного маятни-
ка (
N
= 1) получим
2
1
11
;
c
I l m
M
2
1 1
cos
.
c
Ap
pt g l m
C
Для двойного маятника
( 2)
N
матрицы
M
и
C
принимают вид
2
2
1
1
2
1 2 2
1
1
2
1 2 2
2
2 2
;
c
c
c
c
I l m l m l l m
l l m I l m
M
2
1 1 1 2
2
2 2
cos
0
.
0
cos
c
c
Ap
pt g l m l m
Ap
pt g l m
C
Для тройного маятника
( 3)
N
2
2
1
1
2
3
1 2 2 2 3
1 3 3
1
1
2
2
1 2 2 2 3
2
2
3
2 3 3
2
2
2
1 3 3
2 3 3
3
3 3
;
c
c
c
c
c
c
c
c
c
I l m l m m l l m l m l l m
l l m l m I l m l m l l m
l l m
l l m I l m
M