8 / 18
Экспериментальное исследование устойчивости обращенных стабилизируемых маятников
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2
29
1 1 1 2
3
2
2 2 2 3
3 3
0
0
( )
cos
0
0 .
0
0
c
c
c
l m l m m
t
Ap
pt g
l m l m
l m
C
Используя инерционную матрицу и матрицу квазижесткости легко полу-
чить уравнения движения физических и математических маятников, прямых
или обращенных, произвольной размерности как с гомогенными, так и с гетеро-
генными звеньями.
При переходе к нормальным координатам через преобразование подобия
получим несвязанные уравнения движения в нормальных координатах. Необ-
ходимые для решения задачи устойчивости обращенного положения маятников
уравнения в возмущениях (вариациях) легко получаются из (1). Решение задачи
устойчивости невозмущенного вертикального положения получено с примене-
нием приема, описанного в [18].
В векторно-матричном уравнении (1) использованы размерные переменные
обобщенные координаты — отклонения звеньев маятников от вертикали.
Переход к безразмерным переменным (формату канонических переменных по
Н.В. Мак-Лахлану) выполнен по выражениям, приведенным в [17, 18].
Параметры и собственные частотные характеристики одинарного, двой-
ного и тройного маятников (проверка адекватности используемой динами-
ческой расчетной модели).
Динамические характеристики (собственные часто-
ты и собственные формы колебаний) имеют большое значение при решении
задач устойчивости маятниковых систем. Через собственные частоты прямых
маятников в работах [15, 16, 18] определены границы области устойчивости,
они использованы в безразмерной (относительной) форме уравнений движения
и при построении диаграммы Айнса — Стретта или модифицированной диа-
граммы Айнса — Стретта [18].
Проверка расчетных собственных частот сопоставлением с экспериментом
позволяет оценить достоверность используемых далее (при решении задачи
устойчивости) геометрических и инерционных параметров маятников.
Спектральная задача расчета динамических характеристик (собственных
частот и форм) решена с применением вычислительной программы
Wolfram
Mathematica
, а также (для проверки) программного комплекса
MSCAdams
. Не-
обходимые для расчетов динамических характеристик инерционные параметры
тройного маятника определены в работе [16] с использованием программы
Solid
Works
. Геометрические и инерционные параметры приведены в табл. 1.
Расчетные собственные частоты тройного маятника и экспериментальные
результаты представлены в табл. 2. Собственные частоты получены по парамет-
рам, приведенным в табл. 1, с использованием вычислительной программы
Wolfram Mathematica
(числитель) и программного комплекса
MSCAdams
(зна-
менатель).