5 / 10
На каждом отрезке к исходной функции
Ψ(
y
)
добавляется полином,
зависящий от фазовой переменной
y
с параметрическими коэффици-
ентами, который знакопостоянен на рассматриваемом отрезке. Измене-
нием значения параметра можно добиться выполнения ограничений.
Техника корректирования функции
Ψ(
y
)
заключается в следующем.
1. Находим координаты
[
y
l
;
y
r
]
первого отрезка, на котором нару-
шается ограничение.
2. Расширяем полученный отрезок с некоторым шагом в обе сто-
роны. Обозначим расширенный отрезок через
[˜
y
l
; ˜
y
r
]
. Рассмотрим на
отрезке
[˜
y
l
; ˜
y
r
]
функцию
˜Ψ(
y
) = Ψ(
y
) +
dψ
(
y
)
,
(13)
где
ψ
(
y
) = (
y
−
˜
y
l
)
2
(
y
−
˜
y
r
)
2
. Расширение происходит до тех пор,
пока не найдется такая постоянная
d
∈
[
d
min
;
d
max
]
, что функция
˜Ψ(
y
)
удовлетворяет ограничениям
0
< c
y
1
<
˜Ψ(
y
)
< c
y
2
,
y
∈
[˜
y
l
; ˜
y
r
]
. На
концах отрезка
[˜
y
l
; ˜
y
r
]
значения и производные функции
ψ
d
(
y
)
нулевые,
откуда следует выполнение условий
˜Ψ(˜
y
l
) = Ψ(˜
y
l
); ˜Ψ(˜
y
r
) = Ψ(˜
y
r
);
d
˜Ψ(
y
)
dy
y
=˜
y
l
=
d
Ψ(
y
)
dy
y
=˜
y
l
;
d
˜Ψ(
y
)
dy
y
=˜
y
r
=
d
Ψ(
y
)
dy
y
=˜
y
r
и
C
1
-гладкость функции
Ψ
d
(
y
) =
Ψ(
y
)
, y
∈
[
y
0
; ˜
y
l
];
Ψ(
y
) +
dψ
(
y
)
, y
∈
[˜
y
l
; ˜
y
r
];
Ψ(
y
)
,
[˜
y
r
;
y
∗
]
на отрезке
[
y
0
;
y
∗
]
. Функция
ψ
(
y
)
положительна на интервале
(˜
y
l
; ˜
y
r
)
,
поэтому варьируя положительные значения параметра
d
, можно до-
биться выполнения условия
0
< c
y
1
<
Ψ(
y
) +
dψ
(
y
)
,
y
∈
[˜
y
l
; ˜
y
r
]
, и,
следовательно, — левого неравенства (12)
0
< c
y
1
<
Ψ
d
(
y
)
,
y
∈
[
y
0
;
y
∗
]
.
Аналогично, варьируя отрицательные значения параметра
d
, мож-
но добиться выполнения правого неравенства (12)
Ψ
d
(
y
)
< c
y
2
,
y
∈
[
y
0
;
y
∗
]
. Если необходимое значение параметра
d
найдено, то
фазовая кривая
˙
y
= Ψ
d
(
y
)
удовлетворяет условию (11). Если искомое
расширение не найдено, то заданное ограничение является слишком
жестким и в рамках данного подхода нельзя скорректировать исход-
ную кривую
˙
y
= Ψ(
y
)
.
3. Если в п. 2 было определено искомое расширение, то, варьируя
параметр
d
, находим такой отрезок
[
d
−
;
d
+
]
, что при всех значениях
параметра
d
, принадлежащих к этому отрезку, кривая
˜Ψ(
y
)
не выходит
за ограничения (12). Для того чтобы обеспечить наименьшее значение
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1
21