4 / 10
Теорема 1.
Управление
u
(
t
) =
¨
y
(
t
)
−
f
(
y
(
t
)
,
˙
y
(
t
))
g
(
y
(
t
)
,
˙
y
(
t
))
(5)
является решением терминальной задачи
(1)–(4).
Решение терминальной задачи при отсутствии ограничений.
В классе многочленов существует такая функция
Ψ(
y
)
:
Ψ(
y
) =
c
0
+
c
1
(
y
−
y
0
) +
c
2
(
y
−
y
0
)
2
+
c
3
(
y
−
y
0
)
3
;
(6)
Ψ(
y
0
) = ˙
y
0
,
Ψ(
y
∗
) = ˙
y
∗
;
(7)
˙
y
0
d
Ψ(
y
)
dy
y
=
y
0
= ¨
y
0
,
˙
y
∗
d
Ψ(
y
)
dy
y
=
y
∗
= ¨
y
∗
,
(8)
что график функции
˙
y
= Ψ(
y
)
соединяет начальное положение
ˉ
y
0
с
конечным
ˉ
y
∗
[17]. Ее коэффициенты определены единственным обра-
зом
c
0
= ˙
y
0
;
c
1
=
¨
y
0
˙
y
;
c
2
c
3
=
3Δ
2
−
Δ
3
−
2Δ Δ
2
˙
y
∗
−
c
1
Δ
−
c
0
¨
y
∗
/
˙
y
∗
−
c
1
,
(9)
где
Δ =
y
∗
−
y
0
.
Пусть
y
(
t
)
— решение задачи Коши
dy
dt
= Ψ(
y
)
, y
|
t
=0
=
y
0
.
(10)
В этом случае выполнение условий (7), (8) гарантирует, что упра-
вление в виде (5), реализующее движение по траектории
y
=
y
(
t
)
,
˙
y
= Ψ(
y
(
t
))
, имеет граничные значения (3).
Учет ограничений на состояние.
Ограничимся условиями (2)
вида
0
< c
y
1
<
˙
y < c
y
2
.
(11)
Рассмотрим ситуацию, при которой ограничение (11) нарушается. С
учетом сделанных допущений (10) это равносильно тому, что постро-
енная функция
Ψ(
y
)
не удовлетворяет ограничению вида
0
< c
y
1
<
Ψ(
y
)
< c
y
2
, y
∈
[
y
0
;
y
∗
]
.
(12)
Тогда возникает
N
∈
N
непересекающихся отрезков на оси
Oy
фа-
зовой плоскости, на каждом из которых нарушается какое-либо из
неравенств (12).
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1