5 / 13
нения
A
00
μ
(
ϕ
) +
g
μ
(
ϕ
)
A
μ
(
ϕ
) =
ψ
μ
(
r
0
)
δ
(
ϕ
−
ϕ
0
)
,
где
g
μ
(
ϕ
) =
μ
2
−
g
(
ϕ
)
.
Асимптотическое решение каждого такого уравнения может быть
выписано в WKB-приближении
G
WKB
μ
(
ϕ, ϕ
0
) =
exp
i
sgn
(
ϕ
−
ϕ
0
)
ϕ
Z
ϕ
0
q
g
μ
(
t
)
dt
2
i
{
g
μ
(
ϕ
)
g
μ
(
ϕ
0
)
}
1
/
4
ψ
μ
(
r
0
)
.
Тогда приближенное непериодическое по углу
ϕ
решение
ˆ
u
(
r, ϕ
;
r
0
, ϕ
0
)
рассматриваемой краевой задачи имеет вид
ˆ
u
(
r, ϕ
;
r
0
, ϕ
0
) =
X
μ
C
2
μ
G
WKB
μ
(
ϕ, ϕ
0
)
H
(1)
μ
(
k
0
r
)
H
(1)
μ
(
k
0
r
0
)
.
(14)
Соответствующее периодическое решение восстанавливается исходя
из выражения (14) суммированием всех ветвей этой многозначной по
угловой координате функции
u
(
r, ϕ
;
r
0
, ϕ
0
) =
∞
X
n
=
−∞
ˆ
u
(
r, ϕ
+2
πn
;
r
0
, ϕ
0
)
,
что сводится к суммированию ряда
n
=
∞
X
n
=
−∞
G
WKB
μ
(
r, ϕ
+ 2
πn
;
r
0
, ϕ
0
)
в
явном виде
n
=
∞
X
n
=
−∞
G
WKB
μ
(
r, ϕ
+ 2
πn
;
r
0
, ϕ
0
) =
=
cos
p
μ
(
ϕ, ϕ
0
)
− |
ϕ
−
ϕ
0
|
2
π
+
1
2
S
μ
2
{
g
μ
(
ϕ
)
g
μ
(
ϕ
0
)
}
1
/
4
sin(
S
μ
/
2)
.
(15)
Здесь
p
μ
(
ϕ, ϕ
0
) =
sgn
(
ϕ
−
ϕ
0
)
ϕ
Z
ϕ
0
g
1
/
2
μ
(
t
)
dt
;
S
μ
=
2
π
Z
0
g
1
/
2
μ
(
t
)
dt
; дробь в
квадратных скобках в числителе выражения (15) означает ее целую
часть. Таким образом, асимптотическое решение краевой задачи при-
обретает вид
u
(
r, ϕ
;
r
0
, ϕ
0
) =
=
X
μ
C
2
μ
cos
p
μ
(
ϕ, ϕ
0
)
− |
ϕ
−
ϕ
0
|
2
π
+
1
2
S
μ
2
{
g
μ
(
ϕ
)
g
μ
(
ϕ
0
)
}
1
/
4
sin(
S
μ
/
2)
H
(1)
μ
(
k
0
r
)
H
(1)
μ
(
k
0
r
0
)
.
(16)
42
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 5