4 / 13
где
q
p
— корни функции Эйри. Функции
ψ
k
(
r
)
ортогональны на интер-
вале
r
∈
[
a
;
∞
[
с весом
1
/r
, т.е.
∞
Z
a
ψ
μ
ψ
ν
r
dr
=
< ψ
μ
, ψ
ν
>
=
δ
μ,ν
.
(8)
При этом квадрат нормировочного коэффициента равен
C
2
μ
=
πμH
(2)
μ
(
k
0
a
)
2
i∂
μ
H
(1)
μ
(
k
0
a
)
.
(9)
Далее опустим субиндексы у величины
ν
n
или
μ
n
и используем систе-
му базисных функций
{
ψ
μ
(
r
)
}
при построении решения сформулиро-
ванной выше краевой задачи для функции
u
(
r, ϕ
)
неполным проекци-
онным методом Галеркина:
∞
Z
a
L
ˆ
u
(
r, ϕ
)
ψ
μ
(
r
)
r dr
=
f
μ
(
ϕ
)
,
(10)
где
L
= (Δ
r,ϕ
+
k
2
(
r, ϕ
))
, f
μ
(
ϕ
) =
ψ
μ
(
r
0
)
δ
(
ϕ
−
ϕ
0
)
;
ˆ
u
(
r, ϕ
) =
X
ν
A
ν
(
ϕ
)
ψ
ν
(
r
)
.
(11)
В результате для искомых функций
{
A
ν
(
ϕ
)
}
получим систему обык-
новенных дифференциальных уравнений:
A
00
μ
(
ϕ
) +
μ
2
A
μ
(
ϕ
) +
X
ν
Q
μ,ν
(
ϕ
)
A
ν
(
ϕ
) =
f
μ
(
ϕ
)
,
(12)
решаемую на бесконечном интервале
|
ϕ
|
<
∞
, с условиями экс-
поненциального убывания функций
A
ν
(
ϕ
)
при
|
ϕ
| → ∞
. Здесь
Q
μ,ν
(
ϕ
) =
∞
Z
a
r
˜
k
2
(
r, ϕ
)
ψ
μ
(
r
)
ψ
ν
(
r
)
dr
— конечная или бесконечная мат-
рица, в зависимости от конечности или бесконечности суммы (11),
˜
k
2
(
r, ϕ
) =
k
2
(
r, ϕ
)
−
k
2
0
. Поскольку
k
2
(
r, ϕ
) =
k
2
0
при
r > ρ
(
ϕ
)
, то
Q
μ,ν
(
ϕ
) =
ρ
(
ϕ
)
Z
0
r
[
k
2
(
r, ϕ
)
−
k
2
0
]
ψ
μ
(
r
)
ψ
ν
(
r
)
dr.
(13)
Используя условие тонкости слоя
k
0
δ
(
ϕ
)) 1
и высокочастотный ха-
рактер поля
k
0
a
1
, интеграл (13) можно приблизить с точностью до
O
((
k
0
a
)
−
2
/
3
)
O
((
k
0
δ
(
ϕ
))
2
выражением
Q
μ,μ
≈ −
ω
2
(
ε
−
ε
0
)(
ρ
2
(
ϕ
)
−
a
2
) =
=
−
g
(
ϕ
)
. В результате система (12) распадается на независимые урав-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 5
41