3 / 13
r
0
>
max
ρ
(
ϕ
)
;
r
=
ρ
(
ϕ
)
— уравнение внешней границы слоя диэлек-
трика. Толщина слоя
δ
(
ϕ
) =
ρ
(
ϕ
)
−
a
такова, что
δ
= max
δ
(
ϕ
)
λ
0
(т.е.
k
0
δ
1
), где
λ
0
— длина волны в свободном пространстве;
k
0
— волновое число. Примем, что радиус
a
цилиндра велик по срав-
нению с длиной волны:
k
0
a
1
. В случае
Е
-поляризации поле
u
(
r, ϕ
) =
E
z
(
r, ϕ
)
описывается всюду вне цилиндра
r
=
a
уравнением
Гельмгольца:
(Δ
r,ϕ
+
k
2
(
r, ϕ
))
u
(
r, ϕ
;
r
0
, ϕ
0
) =
1
r
δ
(
r
−
r
0
)
δ
(
ϕ
−
ϕ
0
)
,
(1)
где
k
2
(
r, ϕ
) =
(
k
2
0
=
ε
0
ω
2
r > ρ
(
ϕ
);
ω
2
ε
(
r, ϕ
)
μ
0
a < r
≤
ρ
(
ϕ
);
ε
0
— диэлектрическая проницаемость свободного пространства;
μ
0
—
его магнитная проницаемость;
ω
— частота;
ε
(
r, ϕ
) =
ε
0
+
iε
1
=
const —
комплексная диэлектрическая проницаемость диэлектрика. Уравнение
(1) дополняется обычными краевыми условиями на поверхности ме-
талла
u
(
a, ϕ
) = 0
,
(2)
и условиями непрерывности тангенциальных компонент полей
E
и
H
на внешней границе диэлектрика
[
u
]
r
=
ρ
(
ϕ
)
= 0
,
∂u
∂n
r
=
ρ
(
ϕ
)
= 0
,
(3)
а также условиями Зоммерфельда на бесконечности
∂u
∂r
−
iku
r
→∞
=
O r
−
3
2
.
(4)
Задача решается неполным проекционным методом. Причем, вме-
сто сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
для искомых функций радиальной координаты, если решение ищет-
ся как ряд Фурье по тригонометрической системе базисных функций
полярного угла, решение строится как разложение по сингулярным
частным решениям уравнения Бесселя
ψ
p
(
r
) =
C
p
H
(1)
ν
p
(
k
0
r
)
,
(5)
удовлетворяющим предельному условию (2), если счетная система
комплексных чисел
{
ν
p
}
является множеством корней дисперсионного
уравнения
H
(1)
ν
(
k
0
a
) = 0
.
(6)
Асимптотическое приближение для корней уравнения (6) имеет
вид [6]
ν
p
≈
k
0
a
+
σ
p
e
iπ/
3
;
σ
p
=
k
0
a
6
1
/
3
q
p
,
(7)
40
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 5