2 / 8
Из уравнений Эйлера – Лагранжа
∂
μ
δ
(
√ −
gL
)
δ∂
μ
φ
−
δ
(
√ −
gL
)
δφ
= 0
получим уравнение
φ
+
V
0
(
φ
) = 0
,
где
V
0
(
φ
) =
dV
(
φ
)
/dφ
. Учиты-
вая кривизну пространства–времени, запишем оператор д’Аламбера в
виде
φ
=
1
√ −
g
∂
∂x
μ
√ −
gg
μν
∂φ
∂x
ν
.
Окончательное уравнение, определяющее динамику инфляционного
поля, будет иметь вид [1]
¨
φ
+ 3
H
˙
φ
− ∇
2
φ
a
2
+
V
0
(
φ
) = 0
,
(2)
где
H
= ˙
a/a
— параметр Хаббла;
a
— масштабный фактор.
Поскольку скалярное поле в силу равенства нулю недиагональных
компонент тензора Эйнштейна зависит только от времени, можно от-
бросить третий член уравнения (2)
¨
φ
+ 3
H
˙
φ
+
V
0
(
φ
) = 0
.
(3)
Уравнение (3) и уравнение Эйнштейна
H
2
=
1
3
M
2
P
1
2
˙
φ
2
+
V
(
φ
)
определяют эволюцию скалярного поля.
Плотность энергии и плотность давления.
Варьируя дей-
ствие (1) по метрике
g
μν
, получаем выражение для тензора энергии–
импульса
T
μν
=
∂
μ
φ∂
ν
φ
−
g
μν
L
. Сравнивая с релятивистским тензором
энергии–импульса идеальной жидкости
T
μν
= (
p
+
ρ
)
u
μ
u
ν
+
g
μν
p
за-
пишем уравнения для плотности энергии
ρ
φ
и плотности давления
p
φ
:
T
0
0
=
ρ
φ
=
˙
φ
2
2
+
V
(
φ
) +
(
∇
φ
)
2
2
a
2
;
T
i
i
=
p
φ
=
˙
φ
2
2
−
V
(
φ
)
−
(
∇
φ
)
2
2
a
2
.
Из уравнений Эйнштейна следует, что инфляционное поле простран-
ственно однородно, поэтому отбрасываем пространственные произ-
водные [1]. Если
V
(
φ
) ˙
φ
2
, то получаем условие
ρ
φ
' −
p
φ
, что являет-
ся условием инфляционной стадии. Инфляция управляется вакуумной
энергией инфляционного поля и, таким образом, получается деситте-
ровское расширение.
Приближение медленного скатывания.
Такое приближение опре-
деляет часть потенциала, где происходит инфляция. Необходимо вы-
полнение двух условий [1].
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4