4 / 14
М.П. Галанин, П.В. Глизнуцина, В.В. Лукин, А.С. Родин
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
тами в качестве функций формы [8, 9]. Более подробное описание метода мож-
но найти в работе [10].
Учет контактных условий.
При численном решении контактные условия
учитываются с помощью метода множителей Лагранжа [6].
Согласно методу множителей Лагранжа к потенциальной энергии системы
двух тел, входящих в контакт [10], добавляется потенциал контактных сил вида
(1)
(2)
=
,
C
C
W x x d
(2)
где
— функция множителей Лагранжа, имеющая смысл вектора поверхност-
ных контактных сил;
( )
( )
( )
=
i
i
i
x X u
— актуальные положения соответствующих
сходственных точек тел
=1, 2
i
на контактной поверхности;
( )
,
i
X
( )
i
u
— исход-
ные положения и получаемые перемещения сходственных точек. Далее полу-
ченная энергия варьируется и ее первая вариация приравнивается нулю. Пере-
менные
u
и
независимы.
Для вычисления интеграла (2) необходимо его дискретизовать. При этом
дискретизуется и непрерывная функция
. В таком случае в систему линейных
алгебраических уравнений, полученную с помощью метода конечных элемен-
тов, добавляются новые неизвестные.
Вычисление интеграла (2) осуществляется следующим образом [11]. Одно
из тел выбирается активным, другое — пассивным. Интегрирование проводят
по сегментам граничных элементов дискритизированного активного тела, всту-
пивших в контакт, на них же выбирают квадратурные точки, затем строят сход-
ственные точки на пассивном теле. Тогда интеграл (2) можно представить в сле-
дующем виде:
т ( )
( )
=
,
m s
C
C
W x x d
(3)
где
( )
,
m
x
( )
s
x
— актуальные положения сходственных точек на активном и пас-
сивном телах;
т
— вектор дискретизированных множителей Лагранжа.
В общем случае используют интерполяцию
( )
( )
( )
( )
т
т
( ) ( );
( ) ( );
( ) ( ).
m
m
m
s
c
c
x N x t x N x t
N t
Здесь
,
N N
— функции формы, используемые в МКЭ для получения системы
алгебраических уравнений;
c
N
— функции формы для дискретизации множи-
телей Лагранжа. В зависимости от метода они могут выбираться различными
способами. Рассмотрим три способа [11].
1.
Метод контакт точка–поверхность
(
),
c
c
N
где
c
— сходствен-
ная точка на пассивном теле.
В системе линейных алгебраических уравнений МКЭ оба контактных узла
представляют как линейные комбинации близлежащих узловых точек конечно-
элементной сетки.