3 / 14
Сравнение вариантов метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
37
,
t
t
t
где
n
— внешняя нормаль к контактной поверхности данного тела;
— каса-
тельный вектор к контактной поверхности тела.
В формуле (1) нестрогое неравенство превращается в равенство при выходе
тел из контакта и в строгое неравенство — при нахождении в контакте. Поэтому
нормальные контактные силы могут быть только сжимающими. Касательные
контактные силы могут принимать любые значения.
В случае, если на контактной поверхности реализуется условие скольжения
без трения, то касательные контактные силы принимаются равными нулю:
=0.
t
t
Основные соотношения математической модели.
Математическая модель
контактного взаимодействия упругих тел включает в себя следующие основные
соотношения [7], записанные в прямоугольной декартовой системе координат
.
Oxy
1. Соотношения Коши:
т
{ } = , ,
=[ ]{ },
x y xy
B u
где
{ }
— вектор деформаций;
т
{ }( ) = { ( ), ( )}
u M u M v M
— вектор перемещений в
точке тела
;
M
B
— матрица,
0
= 0
.
x
B
y
y x
2. Обобщенный закон Гука:
т
0
{ } = ,
,
=[ ]{
}.
x y xy
H
Здесь
{ }
— век-
тор напряжений;
0
{ }
— вектор начальной деформации (в рассматриваемых за-
дачах она нулевая);
[ ]
H
— матрица упругих модулей [8].
3. Дифференциальные уравнения равновесия:
т
[ ] { } = { }.
B
f
4. Граничные условия первого или второго рода на границе контакта.
5. Контактные условия:
(1)
(2)
| = | ;
n
n C
C
u
u
(1)
(2)
| = | ,
n
n C
C
где
( )
,
i
n
u
( )
i
n
— нормальные перемещения и нормальные напряжения для
i
-го
тела,
=1, 2.
i
Численный метод.
Численный алгоритм решения рассмотренной матема-
тической модели основан на МКЭ с четырехугольными билинейными элемен-