Оценки диэлектрической проницаемости композита с включениями в виде эллипсоидов вращения

9 / 16

В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.Ю. Савельева
48 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
допускающий рассмотрение на непрерывных распределениях вектора ( ),M D
, M V которые удовлетворяют дополнительным условиям ( ) = 0M   D ( ) M V
и ( ) ( ) = 0,N N D n *. N S
Из экстремальных свойств функционалов (19) и (20), составляющих двой-
ственную вариационную формулировку задачи электростатики, и равенства их
значений на истинном решении задачи следует цепочка неравенств
* [ ] [ ] [ ], J U J U I  D (21)
при котором функционал (19) достигает наименьшего значения
* * 2 1 [ ]= ( )( ( )) ( ).
2 V
J U M U M dV N    (22)
Примем для функционала (19) достаточно простое допустимое линейное по
высоте области V распределение электрического потенциала ( ), U M , M V для
которого 2 2 ( ( )) =( / ) =const.H U M U H  Тогда из формулы (19) получим
2
2
1
1 (1 )
= ( ) ( ) = .
2 2
H V m V
H
V
U C C
J M dV M U F
H H
      
 
 

Для функционала (20) в качестве допустимого распределения вектора D при-
мем постоянное значение D единственной составляющей этого вектора, пер-
пендикулярной основаниям цилиндра. Значение D найдем из необходимого
условия максимума функционала (20), который примет значение
2
1
1
= .
2
V V
H
m
D FH C C
I U DF
 
    
   
Из условия 1 / = 0 dI dD определим = ( / )/((1 )/ / )
H V m V D U H C C      и
2
1
( ) / (2 )
= .
(1 ) / /
H
V m V
U F H
I
C C    
Заменим в рассматриваемой области неоднородную среду, состоящую из
матрицы и включений с различными значениями диэлектрической проницаемо-
сти, однородной средой с искомым эффективным значением *
z  диэлектрической
проницаемости композита в направлении ориентации осей вращения включений.
В этом случае принятое выше линейное распределение электрического потенциа-
ла будет истинным для функционала (19) и он согласно равенству (22) примет
значение * * 2
1 = /(2 ).
z H J U F H  В соответствии с неравенствами (21), используя полу-
ченные значения 1 , J 1 I и *
1 , J запишем двусторонние оценки
 
* = (1 ) 1/ (1 ) / / = ,
z V m V z V m V z C C C C                (23)
которые не зависят от формы включений. Повторение рассмотренной процеду-
ры применительно к случаю расположения осей вращения эллипсоидальных