5 / 16
В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.Ю. Савельева
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
Учитывая, что для геометрически подобных эллипсоидов
= ,
z
z
G G
из соотно-
шения (7) находим
*
( 1)
= =1
,
1 ( 1)(1 )
z
V
z
m
V z
C
C G
(8)
где
= / .
m
В частном случае шарового включения
=1/3
z
G
и из равенства (8) следует
формула Максвелла [3, 16], что косвенно свидетельствует о корректности про-
веденной выше процедуры. Для произвольного эллипсоида сумма коэффициен-
тов, определяемых по формуле (2) для каждого ортогонального направления, и
называемых коэффициентами деполяризации [7], равна единице. Тогда для эл-
липсоида вращения при двух равноправных ортогональных направлениях в
плоскости, перпендикулярной оси вращения, имеем
=(1 )/ 2.
r
z
G G
Последова-
тельность определения эффективного значения
*
r
диэлектрической проницае-
мости представительного элемента структуры композита в любом радиальном
направлении аналогична примененной выше процедуре и приводит к соотно-
шению
*
( 1)
= =1
.
1 ( 1)(1 )(1 ) / 2
r
V
r
m
V
z
C
C G
(9)
Соотношения для эффективных коэффициентов теплопроводности композита
с включениями в виде эллипсоидов вращения, идентичные формулам (8) и (9),
получены в работах [17, 18] с использованием иного подхода. Таким образом,
рассматриваемый представительный элемент структуры композита обладает
трансверсальной изотропией относительно оси вращения. Если в композите все
включения ориентированы одинаково, т. е. их оси вращения параллельны, то и
композит также будет трансверсально изотропным с эффективными значения-
ми
*
z
и
*
r
диэлектрических проницаемостей в соответствующих направлениях.
При хаотической ориентации включений, когда расположение осей вращения
включений равновероятно по всем возможным направлениям, композит будет
изотропным с эффективным значением диэлектрической проницаемости
*
*
*
=( 2 )/3.
z
r
Если включения образуют
N
групп, в каждой из которых отношение
( ) ( )
/
= = const,
n n
z
r
n
b b b
=1, ,
n N
а диэлектрическая проницаемость включений
равна
,
n
то при их хаотической ориентации с учетом формул (8) и (9) получим
=1
*
1
( 1)
2( 1)
= =1
,
3 1 ( 1)(1 )
1 ( 1)(1 )(1 ) / 2
N
n
n
n
n
n
m
n
n n
n
n
n
C
C
C G
C G
где
= / ;
n n m
n
C
— объемная концентрация включений
n
-й группы;
n
G
—
коэффициент деполяризации, который в соответствии с равенством (2) при
= 0
является однозначной функцией параметра
,
n
b