Применение двойного квантования в диамагнетизме Ландау

6 / 14

Применение двойного квантования в диамагнетизме Ландау
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4 19
Следует учитывать условия F p q p   
и ,
F p p 
чтобы получить действи-
тельно отличное от нуля состояние, а также условие 0, q   чтобы рассматрива-
емое состояние не оказалось средним 0,  что недопустимо в теории возмуще-
ний в силу предположения о главном значении . P Появившееся в последней
формуле среднее по состоянию 0  от произведения четырех электронных опе-
раторов рождения и уничтожения можно представить в виде
   
0 , , 0 0 , 0 , , , , , | | | | .
p s p s p s
p q s p q s p s p q s p q s a a a a a a a a    
 
                            
Таким образом, рассматриваемое среднее отлично от нуля и равно единице
только при одновременном выполнении условий , , s s p p q p p q              и
условий F p p  и .
F p p   Следовательно, окончательно запишем формулу для
искомой поправки теории возмущений
         
   
2
2
2 2 2
, ,
, , 1 .
F
F
p p s
p p
p p
p A p p p A p p e
E
m V E p E p


 
    
 
  
 


       
  (17)
Объемная плотность тока. Зная выражение для магнитной энергии систе-
мы невзаимодействующих электронов, легко определить выражение для объем-
ной плотности электрического тока   , j r
 
текущего в системе. Для этого доста-
точно обратиться к известному в электродинамике соотношению Максвелла [8]
     
2
1 , ,
2 V
E dV j r A r   
    (18)
которое после фурье-преобразования (9) принимает вид
       
, ,
2 2
1 1 .
2
i i
q r q r
q q V
E dV j q e A q e
V


     
   
 
 
   
Происхождение знака «  » связано с тем, что малое изменение функции
Гамильтона (в рамках теории возмущений) равно взятому с обратным знаком
изменению функции Лагранжа (в случае системы невзаимодействующих элек-
тронов — энергии магнитного поля). Достаточно подробно этот вопрос разо-
бран в работах [9, 10].
Замечание. Множители 1 / V в разложении Фурье   j r
 
и   A r
 
— величи-
ны постоянные (объем образца), поэтому в операции интегрирования по объе-
му не задействованы.
Используя представление (10), получаем
             
     
,
2 ,
, ,
1 1 1 1 1
, ,
2 2
1 , .
2
i q q r
q q
q q q q V
q
E j q A q dVe j q A q
V V V
j q A q
V


 
      
 
  

  
  
   

       
   