Применение двойного квантования в диамагнетизме Ландау

2 / 14

Применение двойного квантования в диамагнетизме Ландау
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4 15
ем формализма ансамбля Гиббса и уравнений Ланжевена были получены резуль-
таты, близкие к результатам, определенным в настоящей работе. Поскольку об-
щие вопросы о природе магнетизма являются до сих пор предметом обсуждения
[5], интересно рассмотреть известные результаты, полученные несколько иным
образом, что и является предметом настоящего исследования.
Гамильтониан свободных электронов. Гамильтониан H свободных элек-
тронов в постоянном магнитном поле с векторным потенциалом ( ) A r
 
имеет
вид
   
2
1 , , .
2
V
H r eA r dV
m i


 
      
 
 
 

   (1)
Здесь операторные одноэлектронные волновые функции определяют как
   
   
, ,
,
, ,
,
, , ;
, , .
p s p s
p s
p s p s
p s
r r a
r r a   
    
    


 

 

 
  (2)
В (2) использованы следующие обозначения:  — комплексное сопряжение;
+ — эрмитовое сопряжение операторов; , ,
p s a 
, p s a — операторы уничтожения и
рождения электронов в одноэлектронном состоянии с импульсом p
и проекци-
ей спина , s описываемой волновой функцией  
, , .
p s r    Форма выбора опера-
тора Гамильтона в виде (1) достаточно подробно изложена в работах [6, 7]. От-
метим, что функции  
, ,
p s r    образуют полный квантово-механический набор
ортонормированных одноэлектронных функций
   
, , , , , , ,
p s p p s s p s
V
r r dV 
 
 

           
   (3)
где , ,
p p    , s s  — импульсный и спиновый символы Кронекера.
Для свободных электронов, находящихся в объеме 3, V L одноэлектрон-
ные волновые функции запишем в виде
   ,
, ,
1
, .
i p r
p s s r e
V     
 
   (4)
Напомним, что каждый электрон обладает спином 1 / 2, s  проекция кото-
рого на формально выбранную ось принимает два значения 1 / 2.   
С учетом стандартной калибровки векторного потенциала div 0A 

соот-
ношение (1) принимает вид
  2
2
2
0 1 2
,
2
,
2
V V
V
i e
H dV A dV
m m
e A dV H H H
m
 
 


        
     
   
 
  
(5)